Un défi par semaine

Février 2019, 4e défi

El 22 febrero 2019  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 8

Deux nombres positifs sont tels que leur somme est inférieure ou égale à leur produit.
Quelle est la valeur minimale de leur somme ?

Solution du 3e défi de février :

Enoncé

La solution est $11$.

Les équations qui décrivent la figure sont: $x + y =5$, $y + z =10$ et $z + x = 7$.

En les additionnant, nous obtenons $2(x+y+z)=22$, ainsi
$x+y+z=11$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Février 2019, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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  • Généralisation

    le 24 de febrero de 2019 à 08:09, par Al_louarn

    Généralisons le problème avec $n$ nombres positifs.

    On le résout facilement en s’appuyant sur l’inégalité entre moyenne arithmétique et moyenne géométrique. Si $S$ est la somme des $n$ nombres et $P$ leur produit, elle s’écrit ainsi :
    \[\frac{S}{n} \geq P^{\frac{1}{n}}\]

    Dans notre cas nous voulons $P \geq S$, ce qui conduit à :
    $\frac{S}{n} \geq S^{\frac{1}{n}}$
    $(\frac{S}{n})^n \geq S$
    $S^n \geq n^nS$
    $S^n - n^nS \geq 0$
    $S(S^{n-1} - n^n) \geq 0$

    Si on exige que les nombres sont strictement positifs alors $S>0$ donc :
    $S^{n-1} - n^n \geq 0$
    $S^{n-1} \geq n^n$
    $S \geq n^{\frac{n}{n-1}}$
    Et ce minimum est atteint lorsque tous les nombres valent $n^{\frac{1}{n-1}}$

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