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• Généralisation

  le 24 de febrero de 2019 à 08:09, par Al_louarn

  Généralisons le problème avec $n$ nombres positifs.

  On le résout facilement en s’appuyant sur l’inégalité entre moyenne arithmétique et moyenne géométrique. Si $S$ est la somme des $n$ nombres et $P$ leur produit, elle s’écrit ainsi :
  \[\frac{S}{n} \geq P^{\frac{1}{n}}\]

  Dans notre cas nous voulons $P \geq S$, ce qui conduit à :
  $\frac{S}{n} \geq S^{\frac{1}{n}}$
  $(\frac{S}{n})^n \geq S$
  $S^n \geq n^nS$
  $S^n - n^nS \geq 0$
  $S(S^{n-1} - n^n) \geq 0$

  Si on exige que les nombres sont strictement positifs alors $S>0$ donc :
  $S^{n-1} - n^n \geq 0$
  $S^{n-1} \geq n^n$
  $S \geq n^{\frac{n}{n-1}}$
  Et ce minimum est atteint lorsque tous les nombres valent $n^{\frac{1}{n-1}}$

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