Un défi par semaine

Février 2020, 1er défi

Le 7 février 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 6

Sur une horloge, la somme de trois nombres consécutifs est toujours un multiple de $3$. Réordonner les nombres de telle sorte que la somme de trois nombres consécutifs ne soit jamais un multiple de $3$.

Solution du 5e défi de janvier :

Enoncé

Remarquons déjà qu’il y a bien $\binom 52 = 10$
façons de regrouper les cinq nombres deux par deux, et donc $10$ sommes possibles.

Notons $a, b, c, d$ et $e$ les cinq nombres cherchés, rangés par ordre croissant : $a \leq b \leq c \leq d \leq e$.

Chacun des cinq nombres apparaît dans exactement quatre des dix sommes, donc la somme des dix sommes (qui vaut $72$) vaut également $4(a+b+c+d+e)$, d’où l’on tire $a+b+c+d+e = 18$.

Par ailleurs, les deux sommes les plus grandes sont, dans l’ordre $d+e=15$ et $c+e=13$ (il n’est en revanche pas clair a priori si la troisième, $11$, est $b+e$ ou $c+d$). De même, les deux sommes les plus petites sont $a+b=0$ et $a+c=2$.

On a donc $18 = \underbrace{a+b}_{=0}+c+\underbrace{d+e}_{=15}$, donc $c = 3$. De $a+c = 2$, on tire $a = -1$ puis, de $a+b=0$, $b=1$. De même, on tire $e = 10$ de $c+e=13$ puis $d = 5$ de $d+e=15$.

Les cinq nombres cherchés sont donc $-1, 1, 3, 5$ et $10$.

La solution est $-1, 1, 3,$ $5$ et $10$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2020, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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Image à la une - KFIFA / SHUTTERSTOCK

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  • Février 2020, 1er défi

    le 7 février 2020 à 08:26, par Al_louarn

    Modulo $3$, un nombre vaut $0$,$1$ ou $-1$. Le problème se ramène à disposer en cercle quatre $-1$, quatre $0$ et quatre $1$ de façon que la somme modulo $3$ de $3$ nombres consécutifs ne soit jamais nulle. On ne peut pas avoir $3$ nombres distincts consécutifs car $-1+0+1=0$ , ni $3$ nombres identiques car leur somme est un multipe de $3$ donc $0$ modulo $3$. On est donc obligé d’utiliser $2$ fois le même nombre et un troisième distinct (pas forcément dans cet ordre). Il existe plusieurs solutions, par exemple :
    $-,-,0,0,+,+,-,-,0,0,+,+$
    $-,-,0,0,-,-,+,+,0,0,+,+$
    $-,-,0,-,0,0,+,0,+,+,-,+$

    Pour chaque motif obtenu il suffit de répartir les nombres de $1$ à $12$ selon leur reste modulo $3$. Pour le premier motif on a par exemple $2,5,3,6,1,4,8,11,9,12,7,10$

    Mais combien y a-t-il de solutions au total ?

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