Un défi par semaine

Février 2020, 1er défi

Le 7 février 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 6

Sur une horloge, la somme de trois nombres consécutifs est toujours un multiple de $3$. Réordonner les nombres de telle sorte que la somme de trois nombres consécutifs ne soit jamais un multiple de $3$.

Solution du 5e défi de janvier :

Enoncé

Remarquons déjà qu’il y a bien $\binom 52 = 10$
façons de regrouper les cinq nombres deux par deux, et donc $10$ sommes possibles.

Notons $a, b, c, d$ et $e$ les cinq nombres cherchés, rangés par ordre croissant : $a \leq b \leq c \leq d \leq e$.

Chacun des cinq nombres apparaît dans exactement quatre des dix sommes, donc la somme des dix sommes (qui vaut $72$) vaut également $4(a+b+c+d+e)$, d’où l’on tire $a+b+c+d+e = 18$.

Par ailleurs, les deux sommes les plus grandes sont, dans l’ordre $d+e=15$ et $c+e=13$ (il n’est en revanche pas clair a priori si la troisième, $11$, est $b+e$ ou $c+d$). De même, les deux sommes les plus petites sont $a+b=0$ et $a+c=2$.

On a donc $18 = \underbrace{a+b}_{=0}+c+\underbrace{d+e}_{=15}$, donc $c = 3$. De $a+c = 2$, on tire $a = -1$ puis, de $a+b=0$, $b=1$. De même, on tire $e = 10$ de $c+e=13$ puis $d = 5$ de $d+e=15$.

Les cinq nombres cherchés sont donc $-1, 1, 3, 5$ et $10$.

La solution est $-1, 1, 3,$ $5$ et $10$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2020, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - KFIFA / SHUTTERSTOCK

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  • Février 2020, 1er défi

    le 7 février 2020 à 13:18, par Gérard JONEAUX

    Nous arrivons à un nombre impressionnant de solutions !
    Supposons la définition suivante :
    Les nombres + sont 1, 4, 7 et 10.
    Les nombres - sont 2, 5, 8 et 11.
    Les nombres 0 sont 3, 6, 9 et 12.
    Il faut enchainer ++ 00 —, en évitant les suites telles que +++,000 et ---.
    Appelons A une suite de 2 nombres +, B une suite de 2 nombres -, C une suite de 2 nombres 0.
    les suites acceptables sont :
    A B A C B C
    A B C A B C
    A C A B C B
    A C B A C B
    A C B A B C
    L’ordre des + peut être 1, 4, 7, 10 ou bien 1 4 10 7, bref 24 arrangements possibles .
    idem pour les - et les 0.
    cela donne 24 puissance 3 possibilités pour réaliser A B A C B C.
    Elevons le tout à la puissance 5 pour remplir nos 5 lignes.
    et nous avons toutes les possibilités commençant par deux nombres +.
    Il faudra encore multiplier par 12 pour régler l’heure de midi.
    Le pire, c’est qu’en testant toutes ces possibilités, aucune d’entre elles ne pourra donner l’heure !

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