Un défi par semaine

Février 2020, 1er défi

Le 7 février 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 6

Sur une horloge, la somme de trois nombres consécutifs est toujours un multiple de $3$. Réordonner les nombres de telle sorte que la somme de trois nombres consécutifs ne soit jamais un multiple de $3$.

Solution du 5e défi de janvier :

Enoncé

Remarquons déjà qu’il y a bien $\binom 52 = 10$
façons de regrouper les cinq nombres deux par deux, et donc $10$ sommes possibles.

Notons $a, b, c, d$ et $e$ les cinq nombres cherchés, rangés par ordre croissant : $a \leq b \leq c \leq d \leq e$.

Chacun des cinq nombres apparaît dans exactement quatre des dix sommes, donc la somme des dix sommes (qui vaut $72$) vaut également $4(a+b+c+d+e)$, d’où l’on tire $a+b+c+d+e = 18$.

Par ailleurs, les deux sommes les plus grandes sont, dans l’ordre $d+e=15$ et $c+e=13$ (il n’est en revanche pas clair a priori si la troisième, $11$, est $b+e$ ou $c+d$). De même, les deux sommes les plus petites sont $a+b=0$ et $a+c=2$.

On a donc $18 = \underbrace{a+b}_{=0}+c+\underbrace{d+e}_{=15}$, donc $c = 3$. De $a+c = 2$, on tire $a = -1$ puis, de $a+b=0$, $b=1$. De même, on tire $e = 10$ de $c+e=13$ puis $d = 5$ de $d+e=15$.

Les cinq nombres cherchés sont donc $-1, 1, 3, 5$ et $10$.

La solution est $-1, 1, 3,$ $5$ et $10$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2020, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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Image à la une - KFIFA / SHUTTERSTOCK

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  • Février 2020, 1er défi

    le 7 février 2020 à 23:43, par Al_louarn

    Il y a bien plus que $5$ lignes acceptables. Déjà il vous manque $ABCBAC$. Mais de plus on n’est pas obligé d’utiliser des $++$,$00$,$--$, car par exemple $+,+,0,+,+,0,0,-,-,0,-,-$ convient parfaitement. En revanche s’il y a $n$ lignes il ne faut pas élever à la puissance $n$ mais simplement multiplier par $n$.

    Convenons de représenter une horloge par une permutation des nombres $1$ à $12$, en commençant par $1$. On multipliera effectivement par $12$ pour « régler l’heure de midi », si l’on considère que les $12$ positions sur l’horloge sont discernables, ce qui est le cas en général car tous les chiffres sont orientés dans la même direction.
    Donc chaque ligne, ou mot sur l’alphabet $\{+,0,-\}$, doit commencer par un $+$, qui sera remplacé par un $1$. Nous avons alors seulement $3!=6$ arrangements possibles pour les $+$, $4!=24$ pour les $0$ et aussi $24$ pour les $-$.
    On peut noter que tous les mots acceptables commençant par $+$ peuvent être groupés par paires dont chaque membre s’obtient à partir de l’autre en échangeant les $0$ et les $-$. Ainsi on peut arbitrairement imposer que la première occurence de $0$ arrive avant la première occurence de $-$, et multiplier par $2$ le nombre de solutions.

    Ainsi avec toutes ces contraintes les mots acceptables ne peuvent commencer que par :
    $+,+,0,+$
    $+,+,0,0$
    $+,0,+,+$
    $+,0,+,0$
    $+,0,0,+$
    $+,0,0,-$

    Si on trouve $n$ mots acceptables, le nombre total de solutions est alors $12 \times 6 \times 24 \times 24 \times 2 \times n = 82944n$.

    Maintenant j’aimerais trouver un moyen de calculer $n$ sans énumérer explicitement tous les mots acceptables...

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