Un défi par semaine

Février 2020, 1er défi

Le 7 février 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 6

Sur une horloge, la somme de trois nombres consécutifs est toujours un multiple de $3$. Réordonner les nombres de telle sorte que la somme de trois nombres consécutifs ne soit jamais un multiple de $3$.

Solution du 5e défi de janvier :

Enoncé

Remarquons déjà qu’il y a bien $\binom 52 = 10$
façons de regrouper les cinq nombres deux par deux, et donc $10$ sommes possibles.

Notons $a, b, c, d$ et $e$ les cinq nombres cherchés, rangés par ordre croissant : $a \leq b \leq c \leq d \leq e$.

Chacun des cinq nombres apparaît dans exactement quatre des dix sommes, donc la somme des dix sommes (qui vaut $72$) vaut également $4(a+b+c+d+e)$, d’où l’on tire $a+b+c+d+e = 18$.

Par ailleurs, les deux sommes les plus grandes sont, dans l’ordre $d+e=15$ et $c+e=13$ (il n’est en revanche pas clair a priori si la troisième, $11$, est $b+e$ ou $c+d$). De même, les deux sommes les plus petites sont $a+b=0$ et $a+c=2$.

On a donc $18 = \underbrace{a+b}_{=0}+c+\underbrace{d+e}_{=15}$, donc $c = 3$. De $a+c = 2$, on tire $a = -1$ puis, de $a+b=0$, $b=1$. De même, on tire $e = 10$ de $c+e=13$ puis $d = 5$ de $d+e=15$.

Les cinq nombres cherchés sont donc $-1, 1, 3, 5$ et $10$.

La solution est $-1, 1, 3,$ $5$ et $10$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2020, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - KFIFA / SHUTTERSTOCK

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  • Février 2020, 1er défi

    le 3 mars 2020 à 17:36, par Sebaoun Alain

    Voilà une question amusante !
    Prenons cette horloge, modifions de façon aléatoire les « heures » et regardons combien
    de triplets « consécutifs » ont une somme divisible par 3.
    La question initiale demande des exemples de permutations des heures donnant aucun triplet consécutifs dont la somme est divisible par 3.

    Si on appelle R(n) le nombre de permutations des heures ayant exactement n triplets consécutifs de somme divisible par 3, alors un petit programme « PYTHON » fournit les résultats suivants :

    R(0) = 1990656
    R(1) = 14929920
    R(2) = 45287424
    R(3) = 98205696
    R(4) = 138101760
    R(5) = 93560832
    R(6) = 59719680
    R(7) = 13934592
    R(8) = 11695104
    R(9) = 0
    R(10) = 1492992
    R(11) = 0
    R(12) = 82944

    On a alors la réponse à la question !
    Il y a exactement 1 990 656 façons de réordonner les heures d’une horloge de telle sorte que la somme de trois nombres consécutifs ne soit jamais un multiple de 3 !

    Bien sûr !!! la liste est un peu longue pour être mise ici !

    On notera que le R(12) = 82944 .... est un peu prévisible !
    et que l’on a R(n) divisible par R(12) pour tout n.

    Autre curiosité prévisible ! R(9) et R(11) sont nuls.

    Voilà ..... Etape suivante .....
    Passer à une horloge à « N » heures et et faire des sommes de k-uplets consécutifs pour k diviseur de N ....

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