Un défi par semaine

Février 2020, 4e défi

El 28 febrero 2020  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 9

Sachant que $ABCDE$ est un pentagone régulier et que $DFGE$ est un carré, combien mesure l’angle $\widehat{GAE}$ ?

Solution du 3e défi de février :

Enoncé

Les inscriptions des deux derniers coffres disent exactement la même chose, donc elles ne peuvent pas être toutes les deux fausses. On en déduit qu’elles sont vraies, et que la première est fausse.

On apprend ainsi que le trésor n’est ni dans le premier, ni dans le deuxième coffre. Il est donc dans le troisième.

La solution est dans le troisième coffre.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Février 2020, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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  • Février 2020, 4e défi

    le 28 de febrero de 2020 à 07:49, par Al_louarn

    Dans le pentagone régulier, on a $EA=ED$.
    Dans le carré on a $ED=EG$.
    Donc $EA=EG$, le triangle $AEG$ est isocèle en $E$, d’où $\widehat{GAE} = \widehat{EGA}$.
    Comme la somme des angles du triangle $AEG$ est $\pi$, on peut écrire
    $2\widehat{GAE} + \widehat{AEG} = \pi$, soit $\widehat{GAE} = \dfrac{\pi - \widehat{AEG}}{2}$
    En sommant les angles autour du point $E$ on doit obtenir $2\pi$, donc si $O$ est le centre du pentagone, on a
    $\widehat{AEG} + \widehat{AEO} + \widehat{OED} + \widehat{DEG} = 2\pi$
    Mais dans le pentagone régulier on a $\widehat{AEO} + \widehat{OED} = 2 \times \dfrac{2\pi}{5}$, et dans le carré on a
    $\widehat{DEG} = \dfrac{\pi}{2}$.
    Ce qui nous donne :
    $\widehat{AEG} + \dfrac{4\pi}{5} + \dfrac{\pi}{2} = 2\pi$
    $\pi - \widehat{AEG} = \dfrac{4\pi}{5} + \dfrac{\pi}{2} - \pi = \dfrac{3\pi}{10}$
    $\widehat{GAE}=\dfrac{3\pi}{20}$

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