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• Février 2020, 4e défi

  le 28 de febrero de 2020 à 07:49, par Al_louarn

  Dans le pentagone régulier, on a $EA=ED$.
  Dans le carré on a $ED=EG$.
  Donc $EA=EG$, le triangle $AEG$ est isocèle en $E$, d’où $\widehat{GAE} = \widehat{EGA}$.
  Comme la somme des angles du triangle $AEG$ est $\pi$, on peut écrire
  $2\widehat{GAE} + \widehat{AEG} = \pi$, soit $\widehat{GAE} = \dfrac{\pi - \widehat{AEG}}{2}$
  En sommant les angles autour du point $E$ on doit obtenir $2\pi$, donc si $O$ est le centre du pentagone, on a
  $\widehat{AEG} + \widehat{AEO} + \widehat{OED} + \widehat{DEG} = 2\pi$
  Mais dans le pentagone régulier on a $\widehat{AEO} + \widehat{OED} = 2 \times \dfrac{2\pi}{5}$, et dans le carré on a
  $\widehat{DEG} = \dfrac{\pi}{2}$.
  Ce qui nous donne :
  $\widehat{AEG} + \dfrac{4\pi}{5} + \dfrac{\pi}{2} = 2\pi$
  $\pi - \widehat{AEG} = \dfrac{4\pi}{5} + \dfrac{\pi}{2} - \pi = \dfrac{3\pi}{10}$
  $\widehat{GAE}=\dfrac{3\pi}{20}$

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