Enoncé

Réponse : $1$ couple.

Si $p=q=2$, alors $p^q+1=5$ est un nombre premier. Ce couple $(p,q)$ convient donc.

Si $p=2$ et $q$ est impair, on a l’égalité
$2^q+1 = (2+1)(2^{q-1}-2^{q-2}+\dots -2+1)$.
Mais
$q\ge3$, donc $2^q+1\ge9$ et $(2^{q-1}-2^{q-2}+\dots -2+1)$ est nécessairement strictement supérieur à $1$ : le nombre $2^q+1$ n’est donc pas premier et il n’existe alors aucun couple de nombres premiers de la forme $(2,q)$ vérifiant la condition souhaitée.

Si $p$ est impair, alors $p^q+1$ est un nombre pair strictement supérieur à $2$ et n’est donc pas premier.