Un défi par semaine

Février 2021, 1er défi

El 5 febrero 2021  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : «Le ciel dans tous ses états».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 6

Placer les nombres de $1$ à $16$ de façon à ce que la somme de chaque côté des carrés et la somme des quatre sommets de chaque carré soient égales à $34$.

PNG - 20.7 KB

Solution du 5e défi de janvier :

Enoncé

Réponse : $1$ couple.

Si $p=q=2$, alors $p^q+1=5$ est un nombre premier. Ce couple $(p,q)$ convient donc.

Si $p=2$ et $q$ est impair, on a l’égalité
$2^q+1 = (2+1)(2^{q-1}-2^{q-2}+\dots -2+1)$.
Mais
$q\ge3$, donc $2^q+1\ge9$ et $(2^{q-1}-2^{q-2}+\dots -2+1)$ est nécessairement strictement supérieur à $1$ : le nombre $2^q+1$ n’est donc pas premier et il n’existe alors aucun couple de nombres premiers de la forme $(2,q)$ vérifiant la condition souhaitée.

Si $p$ est impair, alors $p^q+1$ est un nombre pair strictement supérieur à $2$ et n’est donc pas premier.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Février 2021, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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