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Un défi par semaine

Février 2021, 2e défi

Le 12 février 2021 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette aventure.

Semaine 7

De combien de manières peut-on écrire $273$ comme somme de trois entiers positifs de la forme $a$, $ar$ et $ar^2$, où $r$ est un entier positif ?

Solution du 1er défi de février :

Enoncé

Réponse : Voici une possibilité.

Sur la ligne entre $10$ et $15$,

on peut voir que pour arriver à $34$, il nous manque $34-(10\,+\,15)=9$, et $9$ peut s’obtenir avec les couples $(8,1)$, $(7,2)$, $(6,3)$ et $(5,4)$.

On peut éliminer les deux premières possibilités car le $8$ et le $2$ sont déjà utilisés, donc il nous reste les deux dernières. Pour déterminer laquelle convient, regardons le reste de la figure.

Si l’on regarde la ligne où se trouvent le $15$ et le $8$, on voit que pour arriver à $34$, il nous manque $11$.

Ce nombre peut s’obtenir à l’aide des couples $(10,1)$, $(9,2)$, $(8,3)$, $(7,4)$ ou $(6,5)$.

Mais les trois premières possibilités peuvent être éliminées car le $10$, le $8$ et le $2$ ont déjà été utilisés, donc il nous reste $(7,4)$ ou $(6,5)$.

En revenant au cas précédent, on comprend alors qu’il faut qu’on utilise $(6,3)$, parce que si l’on choisit $(5,4)$, on ne pourra utiliser aucune des possibilités pour le dernier cas regardé.

Ainsi, $a_2=3$ et $a_4=6$ (ou vice versa), et $a_6=7$ et $a_8=4$ (ou vice versa).

Supposons maintenant que $a_2=6$ et $a_4=3$. Alors, pour que la ligne qui contient le $13$ ait une somme de $34$, sachant qu’on a déjà $13+3=16$, il faudrait trouver deux nombres dont la somme vaut $18$.

Les options sont alors $(11,7)$ et $(14,4)$.

Avec la première option, on aurait $a_6=7$, $a_1=11$.

Alors $a_3$ devrait valoir $15$, mais ce nombre a déjà été utilisé. Ainsi, il faut utiliser le couple $(14,4)$, donc $a_6=4$ et $a_8=7$. Maintenant, on a :

Déterminer les valeurs restantes est maintenant relativement facile. Il faut clairement que $a_3=12$ et, par conséquent, on trouve $a_5=11$.

Il ne nous reste plus que quatre valeurs, et on a $8+1+a_7+a_9=34$, soit $a_7+a_9=25$.

L’unique couple dont la somme fait $25$ et qui n’a pas encore été utilisé est $(16,9)$.

$a_9$ ne peut pas valoir $16$, sinon on aurait $13$, $16$ et $7$ sur un même segment, ce qui fait déjà $36$.

Ainsi, $a_9=9$, d’où $a_{10}=5$ et $a_7=16$. L’étoile peut donc se compléter ainsi :

Il ne nous reste plus qu’à vérifier qu’avec cet arrangement, la somme des sommets des carrés vaut bien $34$. C’est bien le cas : \[13+5+2+14=10+15+8+1=34.\]

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Février 2021, 2e défi

le 12 février 2021 à 10:16, par ROUX

$273=a(1+r+r^2)$
Il faut que $(1 + r + r^2)$ soit impair et donc que $(r + r^2)$ soit pair et donc que $r^2 + r + 2p = 0$
Quand je résous cette équation du second degré, j’obtiens $7$ valeurs de $p$ donc $7$ valeurs de $(1 + r + r^2)$ donc $7$ manières d’écrire $273$.
Document joint : a_fois_parenthese_1_plus_r_plus_r_carre_parenthese.pdf
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Février 2021, 2e défi

le 12 février 2021 à 17:43, par olivier

Bonjour « Roux »,
Une remarque :
Quel que soit l’entier r, r + r^2 est toujours pair.
Cordialement
Olivier
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Février 2021, 2e défi

le 12 février 2021 à 10:39, par Al_louarn

$273=a(1+r+r^2)$ donc $1+r+r^2$ doit être un diviseur de $273$.
Comme $273=3 \times 7 \times 13$, il a $2^3=8$ diviseurs.
Il se trouve qu’ils peuvent tous s’écrire sous la forme $1+r+r^2$ avec $r \geq 0$, à l’exception de $3 \times 13 = 39$, qui est compris entre $1+5+5^2=31$ et $1+6+6^2=43$ :
$1 = 1 + 0 + 0^2$
$3 = 1 + 1 + 1^2$
$7 = 1 + 2 + 2^2$
$13 = 1 + 3 + 3^2$
$3 \times 7 = 21 = 1 + 4 + 4^2$
$7 \times 13 = 91 = 1 + 9 + 9^2$
$3 \times 7 \times 13 =273 = 1 + 16 + 16^2$
La réponse est donc $7$.
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Février 2021, 2e défi

le 12 février 2021 à 17:00, par PGBriis

on peut ecrire 273 de trois façons différentes avec les couples (a,r) égaux à (1,16) ou (3,9) ou (13,4).
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Février 2021, 2e défi

le 12 février 2021 à 17:08, par PGBriis

7 est evidement la reponse... :-(
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