Février 2021, 3e défi

Le 19 février 2021 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette aventure.

Semaine 8

Combien existe-t-il de nombres à trois chiffres tels que tous les chiffres soient différents de zéro et que n’importe quelle permutation (changement de position) des chiffres forme un nombre à trois chiffres divisible par $4$ ?

Solution du 2e défi de février :

Enoncé

Réponse : $6$ manières.

On veut écrire $273=a+ar+ar^2=a(1+r+r^2)$.

On a une solution pour chaque diviseur de $273$ de la forme $1+r+r^2$ (puisque $a$ pourra être déterminé de manière unique en fonction du diviseur choisi).

Comme la factorisation en facteurs premiers de $273$ est $3\times 7\times 13$, il a huit diviseurs : $1$, $3$, $7$, $13$, $21$, $39$, $91$ et $273$.

Les premières valeurs de $1+r+r^2$ pour un entier positif $r$ sont $3$, $7$, $13$, $21$, $31$, $43$, $57$, $73$ et $91$, ce qui nous fait cinq solutions.

Si $1+r+r^2=273$ on trouve une solution pour $r=16$. Il y a ainsi six manières de faire.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Février 2021, 3e défi

le 19 février 2021 à 09:24, par Al_louarn

Soient $a$, $b$, $c$ les chiffres d’une solution $100a+10b+c$. Comme ce nombre est multiple de $4$, a fortiori il est pair et donc on peut écrire $c=2k$.
Mais pour que $100a +10c+b=100a+20k+b$ soit également multiple de $4$, il est nécessaire et suffisant que $b$ le soit aussi puisque $4$ divise $100$ et $20$.
Et pour conserver la propriété par permutation il en est de même pour $a$ et $c$.
Comme $0$ est exclu il n’y a que $2$ chiffres autorisés, $4$ et $8$, et donc $2^3=8$ solutions :
$444, 448, 484, 488, 844, 848, 884, 888$
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