Février 2022, 1er défi

Le 4 février 2022 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 5

Adèle écrit cinq entiers distincts strictement positifs sur son cahier. Elle ne dit à Rodolphe que la valeur de la somme de ces entiers. Si cette information est suffisante pour retrouver les différentes valeurs écrites sur son cahier, combien de valeurs peut prendre la somme des nombres écrits par Adèle ?

Solution du 4e défi de janvier 2022 :

Enoncé

La réponse est : Deux valeurs.

Comme $a$ et $b$ sont des diviseurs de $24$, ils appartiennent tous deux à l’ensemble $\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$. Comme ce sont également des multiples de $4$, ils ne peuvent pas valoir $1$, $2$, 3 ou $6$ et appartiennent donc à l’ensemble $\{4, 8, 12, 24\}$.

Comme $4$ est le plus grand diviseur commun et $24$ le plus petit multiple commun de ces deux entiers, la paire $\{a,b\}$ est égale à $\{4,24\}$ ou bien à $\{8,12\}$. Dans le premier cas, on a $a+b=28$ et dans le second cas, $a+b=20$. Il y a donc deux valeurs possibles pour la somme $a+b$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

Commentaire sur l'article

Février 2022, 1er défi

le 4 février 2022 à 14:18, par Al_louarn

Soient $n_1 < n_2 < n_3 < n_4 < n_5$ les nombres d’Adèle et $n$ leur somme.
Il est clair que $n \geq 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$

En particulier si $n = 15$ la seule partition possible est $15 = 1+ 2 + 3 + 4 + 5$, car tout autre choix de nombres ne peut que donner $n>15$

Si $n = 16$ alors $n_5 \leq 6$ car $n_1 + n_2 + n_3 + n_4 \geq 1+2+3+4 = 10$. Mais d’un autre côté $n_5 > 5$ car sinon $n < 16$. Donc $n_5 = 6$ et par conséquent $n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 10 = 1+2+3+4$. Ainsi la seule partition possible est $16 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6$.

Si $n \geq 17$ alors $n = 17 + k$, avec $ k \geq 0$ et il y a toujours au moins $2$ partitions possibles :
$n = 1 + 2 + 3 + 4 + (7 + k)$
$n = 1 + 2 + 3 + 5 + (6 + k)$

Ainsi, les seules sommes permettant à Rodolphe de retrouver les $5$ nombres d’Adèle sont $15$ et $16$.
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