Un défi par semaine

Février 2022, 2e défi

Le 11 février 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 6

Une suite commence par les deux valeurs 1 et 2.
Si chaque terme de cette suite est la somme des termes qui le précèdent, quel est le 20e terme de la suite ?

Solution du 1er défi de février 2022

Enoncé

La somme des cinq entiers positifs est au minimum égale à $1+2+3+4+5=15$. Si Adèle dit à Rodolphe que la somme des cinq nombres est $15$, alors les valeurs écrites par Adèle sont nécessairement $1,2,3,4$ et $5$.

Si la somme est égale à $16$, nous allons expliquer pourquoi Rodolphe peut encore trouver les nombres écrits sur le cahier. Notons
$a \lt b \lt c \lt d \lt e$ les entiers écrits par Adèle et supposons que $a+b+c+d+e=16$.

Si $a>1$, alors $a+b+c+d+e\ge 2+3+4+5+6 = 20\not=16$, donc $a=1$.

Si $b>2$, alors $a+b+c+d+e\ge 1+3+4+5+6= 19\not=16$, donc $b=2$.

Si $c>3$, alors $a+b+c+d+e\ge 1+2+4+5+6 = 18\not=16$, donc $c=3$.

Ainsi, comme $a+b+c+d+e=16$, on a $1+2+3+d+e=16$ et $d+e=10$.

De plus, comme $3\lt d \lt e$, on a nécessairement $d=4$ et $e=6$. Ainsi, les entiers écrits par Adèle sont
$1,2,3,4$ et $6$.

Si la somme des cinq entiers est $17$, alors Rodolphe ne peut pas trouver les nombres écrits par Adèle car $1,2,3,4,7$
et $1,2,3,5,6$ sont valides.

On peut généraliser ce résultat à $N\ge17$ ; si Adèle écrit les nombres suivants :
\[ 1,2,3,4,N-10\quad\text{ ou }\quad 1,2,3,5,N-11, \]
alors pour ces deux listes de nombres, leur somme sera égale à $N$.

Finalement, la somme des nombres écrits par Adèle doit être égale à $15$ ou $16$ et il y a donc deux valeurs permettant de retrouver l’ensemble des entiers écrits sur le cahier.

La réponse est deux valeurs.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2022, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

  • Février 2022, 2e défi

    le 11 février à 08:16, par claude

    U1=1, U2=2
    U3=u1+U2
    U4=u1+U2+u3= 2(u1+U2)
    U5=u1+U2+u3+u4=4(u1+U2)
    =2^2(u1+u2)
    Un=2^(n-3)x (u1+U2)
    U20=2^17(u1+u3)=131072x3
    U20=393216

    Répondre à ce message
    • Février 2022, 2e défi

      le 11 février à 11:46, par Mihaela J

      Il y a une erreur dans le calcul de U3, puis de U4 qui se propage.

      Répondre à ce message
      • Février 2022, 2e défi

        le 11 février à 17:23, par claude

        Désolé, mais je ne vois pas où est mon erreur dans u3

        Répondre à ce message
    • Février 2022, 2e défi

      le 11 février à 18:17, par ROUX

      Je suis d’accord (sauf la faute de frappe à U20=2^17(u1+u2).
      $u(n)=3*2^{n-3}$ pour $n>2$

      Répondre à ce message
  • Février 2022, 2e défi

    le 11 février à 12:04, par Mihaela J

    On reconnaît la suite de Fibonacci en décalage de 1 : 1, 2, 3, 5, 8, 13 ...

    Si on note notre suite $u_n$, $F_n$ étant la suite de Fibonnaci $F_1=1$, $F_2 = 1$ et $F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$, alors
    \[u_n = F_{n+1}\]

    On cherche $u_{20}$ qui est $F_{21}= 10946$

    Une valeur quelconque de la suite de Fibonacci on la calcule avec la formule de Binet :
    \[ F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}({\phi}^n - {{\phi}'}^n)\]

    avec $\phi$ et ${\phi}'$ les solutions de l’équation $x^2 = x + 1$ : $\phi = \displaystyle \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ et ${\phi} = \displaystyle \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$. $\phi$ est connu comme le nombre d’or.

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    • Février 2022, 2e défi

      le 11 février à 14:48, par Niak

      Ne commencerait-elle pas plutôt par $1,2,3,6\ldots$ ?

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      • Février 2022, 2e défi

        le 11 février à 15:08, par Mihaela J

        Oups, mille pardons. J’ai mal lu.
        Je suis confuse.

        Répondre à ce message
  • Février 2022, 2e défi

    le 12 février à 14:48, par jml83

    A partir du rang 3, on a : Un = 2 . Un-1 (il suffit de décomposer la somme).
    Donc Un = 3 . 2^(n-3) ; que l’on peut montrer par récurrence.
    U20 vaut donc 3 . 2^(17) = 393216.

    Répondre à ce message

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