Enoncé

La somme des cinq entiers positifs est au minimum égale à $1+2+3+4+5=15$. Si Adèle dit à Rodolphe que la somme des cinq nombres est $15$, alors les valeurs écrites par Adèle sont nécessairement $1,2,3,4$ et $5$.

Si la somme est égale à $16$, nous allons expliquer pourquoi Rodolphe peut encore trouver les nombres écrits sur le cahier. Notons
$a \lt b \lt c \lt d \lt e$ les entiers écrits par Adèle et supposons que $a+b+c+d+e=16$.

Si $a>1$, alors $a+b+c+d+e\ge 2+3+4+5+6 = 20\not=16$, donc $a=1$.

Si $b>2$, alors $a+b+c+d+e\ge 1+3+4+5+6= 19\not=16$, donc $b=2$.

Si $c>3$, alors $a+b+c+d+e\ge 1+2+4+5+6 = 18\not=16$, donc $c=3$.

Ainsi, comme $a+b+c+d+e=16$, on a $1+2+3+d+e=16$ et $d+e=10$.

De plus, comme $3\lt d \lt e$, on a nécessairement $d=4$ et $e=6$. Ainsi, les entiers écrits par Adèle sont
$1,2,3,4$ et $6$.

Si la somme des cinq entiers est $17$, alors Rodolphe ne peut pas trouver les nombres écrits par Adèle car $1,2,3,4,7$
et $1,2,3,5,6$ sont valides.

On peut généraliser ce résultat à $N\ge17$ ; si Adèle écrit les nombres suivants :
\[ 1,2,3,4,N-10\quad\text{ ou }\quad 1,2,3,5,N-11, \]
alors pour ces deux listes de nombres, leur somme sera égale à $N$.

Finalement, la somme des nombres écrits par Adèle doit être égale à $15$ ou $16$ et il y a donc deux valeurs permettant de retrouver l’ensemble des entiers écrits sur le cahier.

La réponse est deux valeurs.