Un défi par semaine

Février 2022, 3e défi

Le 18 février 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 7

Un tableau contient deux lignes et 1011 colonnes. Sur la première ligne, on inscrit tous les nombres en ordre croissant de 1 à 1011 ; sur la seconde ligne, on inscrit tous les nombres, toujours en ordre croissant, de
1012 à 2022. Sur combien de colonnes le nombre de la deuxième ligne est un multiple de celui de la première ligne ?

Solution du 2e défi de février 2022 :

Enoncé

Le troisième terme est $1+2=3$, le quatrième est $1+2+3 = 6$, le cinquième $1+2+3 + 6 =12$, le sixième $1+2+3+6 + 12 = 24$...

On remarque qu’à partir du quatrième rang, chaque terme est le double du terme précédent. En effet, supposons que $a$ soit un terme de la suite distinct des deux premiers, alors $a$ est la somme de tous ses prédécesseurs.

Si $b$ est le terme suivant $a$, alors il a pour valeur la somme de tous les termes le précédant. Ces termes regroupent $a$ et les prédécesseurs de $a$ dont la somme est, par définition, $a$. Ainsi $b=a+a=2a$.

On a bien montré qu’à partir du quatrième rang, chaque terme de la suite est le double du terme précédent.

Finalement, les premiers termes s’écrivent : $1,2,3,2\times 3=6, 2^2\times 3=12, 2^3\times 3 = 24,\dots$ et le terme en $20^{\text{e}}$ position a pour valeur :
\[2^{20-3}\times 3 = 393\,216.\]

La solution est 393 216.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2022, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

  • Février 2022, 3e défi

    le 18 février à 07:55, par Kamakor

    Si on note $n$ un nombre inscrit sur la première ligne, le nombre inscrit juste en dessous est $n+1011$. Or, $n+1011$ est un multiple de $n$ si $n$ divise $1011$. La décomposition en facteurs premier de $1011$ est $3\times 337$ donc $1011$ possède $2\times 2=4$ diviseurs. Chacun d’entre eux apparait une fois sur la première ligne. Il y a donc $4$ colonnes vérifiant la propriété.

    Si la deuxième ligne avait été écrite dans l’ordre décroissant le nombre en dessous de $n$ aurait été $2023-n$. Il aurait alors fallu que $n$ divise $2023$. La décomposition de $2023$ est $7 \times 17^2$ donc $2023$ possède $2\times 3=6$ diviseurs. Cinq d’entre eux apparaitraient sur la première ligne (il faut $n<1012$) donc on aurait obtenu $5$ colonnes vérifiant la propriété.

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