Février 2022, 3e défi

Le 18 février 2022 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
Lire l'article en

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 7

Un tableau contient deux lignes et 1011 colonnes. Sur la première ligne, on inscrit tous les nombres en ordre croissant de 1 à 1011 ; sur la seconde ligne, on inscrit tous les nombres, toujours en ordre croissant, de
1012 à 2022. Sur combien de colonnes le nombre de la deuxième ligne est un multiple de celui de la première ligne ?

Solution du 2e défi de février 2022 :

Enoncé

Le troisième terme est $1+2=3$, le quatrième est $1+2+3 = 6$, le cinquième $1+2+3 + 6 =12$, le sixième $1+2+3+6 + 12 = 24$...

On remarque qu’à partir du quatrième rang, chaque terme est le double du terme précédent. En effet, supposons que $a$ soit un terme de la suite distinct des deux premiers, alors $a$ est la somme de tous ses prédécesseurs.

Si $b$ est le terme suivant $a$, alors il a pour valeur la somme de tous les termes le précédant. Ces termes regroupent $a$ et les prédécesseurs de $a$ dont la somme est, par définition, $a$. Ainsi $b=a+a=2a$.

On a bien montré qu’à partir du quatrième rang, chaque terme de la suite est le double du terme précédent.

Finalement, les premiers termes s’écrivent : $1,2,3,2\times 3=6, 2^2\times 3=12, 2^3\times 3 = 24,\dots$ et le terme en $20^{\text{e}}$ position a pour valeur :
\[2^{20-3}\times 3 = 393\,216.\]

La solution est 393 216.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

Février 2022, 3e défi

le 18 février 2022 à 07:55, par Kamakor

Si on note $n$ un nombre inscrit sur la première ligne, le nombre inscrit juste en dessous est $n+1011$. Or, $n+1011$ est un multiple de $n$ si $n$ divise $1011$. La décomposition en facteurs premier de $1011$ est $3\times 337$ donc $1011$ possède $2\times 2=4$ diviseurs. Chacun d’entre eux apparait une fois sur la première ligne. Il y a donc $4$ colonnes vérifiant la propriété.

Si la deuxième ligne avait été écrite dans l’ordre décroissant le nombre en dessous de $n$ aurait été $2023-n$. Il aurait alors fallu que $n$ divise $2023$. La décomposition de $2023$ est $7 \times 17^2$ donc $2023$ possède $2\times 3=6$ diviseurs. Cinq d’entre eux apparaitraient sur la première ligne (il faut $n<1012$) donc on aurait obtenu $5$ colonnes vérifiant la propriété.
Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexion | s’inscrire | mot de passe oublié ?