Février 2022, 4e défi

Le 25 février 2022 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
Lire l'article en

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 8

De combien de manières peut-on placer d’affilée les chiffres de $1$ à $9$ de telle sorte
que les chiffres $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ apparaissent dans cet ordre, mais que les chiffres
$1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ n’apparaissent pas dans cet ordre ? (Une telle façon de faire est par exemple $129384567$.)

Solution du 3e défi de février 2022 :

Enoncé

Observons tout d’abord que, pour chaque colonne, si $m$ est le nombre du haut, alors $m+1011$ est le nombre du bas. On cherche alors le nombre de valeurs de $m$ telles que $m$ divise $m+1011$, c’est-à-dire, telles que $m$ divise $1011$.

Mais $1011 = 3\times 337$ ($337$ est premier ; on peut le voir en remarquant qu’aucun nombre premier inférieur à $\sqrt{337}\simeq18{,}4$ ne le divise, ainsi si $337$ était le produit de deux facteurs différents de $1$, ces deux facteurs seraient supérieurs à $19$ et le produit serait supérieur à $19^2=361>337$). Donc $1011$ possède $2\times 2 = 4$ diviseurs positifs.

Il y a ainsi quatre colonnes vérifiant la condition demandée, pour $m$ égal à $1$, $3$, $337$ et $1011$.

La solution est quatre colonnes.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

Février 2022, 4e défi

le 22 février 2022 à 19:40, par Elrigo

Les sept chiffres de 1 à 7 dans cet ordre laissent 8 positions possibles pour le chiffre 8 : avant le 1, intercalé entre deux chiffres ou après le 7.
Ils forment alors une liste de huit chiffres qui laissent 9 positions possibles pour le chiffre 9.
On obtient 8*9=72 combinaisons, desquelles il faut retirer la liste 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Total : 71 solutions.
Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexion | s’inscrire | mot de passe oublié ?