Un défi par semaine

Février 2022, 4e défi

Le 25 février 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 8

De combien de manières peut-on placer d’affilée les chiffres de $1$ à $9$ de telle sorte
que les chiffres $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ apparaissent dans cet ordre, mais que les chiffres
$1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ n’apparaissent pas dans cet ordre ? (Une telle façon de faire est par exemple $129384567$.)

Solution du 3e défi de février 2022 :

Enoncé

Observons tout d’abord que, pour chaque colonne, si $m$ est le nombre du haut, alors $m+1011$ est le nombre du bas. On cherche alors le nombre de valeurs de $m$ telles que $m$ divise $m+1011$, c’est-à-dire, telles que $m$ divise $1011$.

Mais $1011 = 3\times 337$ ($337$ est premier ; on peut le voir en remarquant qu’aucun nombre premier inférieur à $\sqrt{337}\simeq18{,}4$ ne le divise, ainsi si $337$ était le produit de deux facteurs différents de $1$, ces deux facteurs seraient supérieurs à $19$ et le produit serait supérieur à $19^2=361>337$). Donc $1011$ possède $2\times 2 = 4$ diviseurs positifs.

Il y a ainsi quatre colonnes vérifiant la condition demandée, pour $m$ égal à $1$, $3$, $337$ et $1011$.

La solution est quatre colonnes.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2022, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

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  • Février 2022, 4e défi

    le 2 mars 2022 à 07:57, par jml83

    Effectivement, vous avez raison.
    J’ai fait un raisonnement en voulant placer deux cases entre deux chiffres autres que 8 et 9 mais c’est un peu tortueux car il faudrait ensuite prendre en compte le fait que certaines combinaisons vont être comptées plusieurs fois.

    Répondre à ce message

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