Un défi par semaine

Février 2014, 2ème défi

Le 14 février 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 7 :

Parmi les sept nombres suivants : $-9, 0, -5, 5, -4, -1, -3$, on en a choisi six et on les a regroupés par couples de telle façon que la somme des nombres de chaque couple soit la même. Quel est le nombre
qui n’a pas été choisi ?

Solution du 1er défi de février

Enoncé

La réponse est deux diviseurs positifs.

Les nombres qui ont
exactement
deux diviseurs positifs sont les nombres premiers, et les nombres qui ont trois diviseurs sont
les carrés d’un nombre premier. Ainsi $n$ est un nombre premier et $n+1$ est un carré
parfait : $n+1=p^2$ avec $p$ un nombre premier. Donc,
$n=p^2-1= (p+1)(p-1)$. Comme $n$ est premier, ses diviseurs sont 1 et lui
même, c’est-à-dire, $p-1=1$ d’où $p=2$. Alors, $n=3$, $n+1=4$ et $n+2=5$ qui a exactement deux diviseurs positifs.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2014, 2ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Les courbes de Jordan, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

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  • Février, 2ème défi

    le 14 février 2014 à 08:44, par Daniate

    Je viens de résoudre le problème, mais je ne veux priver personne du plaisir de la recherche. Je précise toutefois qu’il est possible de trouver la réponse par un raisonnement qui ne nécessite pas d’effectuer le regroupement en 3 couples.

    Répondre à ce message

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