Un défi par semaine

Février 2014, 2ème défi

Le 14 février 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 7 :

Parmi les sept nombres suivants : $-9, 0, -5, 5, -4, -1, -3$, on en a choisi six et on les a regroupés par couples de telle façon que la somme des nombres de chaque couple soit la même. Quel est le nombre
qui n’a pas été choisi ?

Solution du 1er défi de février

Enoncé

La réponse est deux diviseurs positifs.

Les nombres qui ont
exactement
deux diviseurs positifs sont les nombres premiers, et les nombres qui ont trois diviseurs sont
les carrés d’un nombre premier. Ainsi $n$ est un nombre premier et $n+1$ est un carré
parfait : $n+1=p^2$ avec $p$ un nombre premier. Donc,
$n=p^2-1= (p+1)(p-1)$. Comme $n$ est premier, ses diviseurs sont 1 et lui
même, c’est-à-dire, $p-1=1$ d’où $p=2$. Alors, $n=3$, $n+1=4$ et $n+2=5$ qui a exactement deux diviseurs positifs.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2014, 2ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Les courbes de Jordan, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

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  • Février, 2ème défi

    le 21 mars 2014 à 23:45, par François Gramain

    La solution des carabiniers (qui arrivent toujours trop tard...) :
    La somme des sommes (égales) des 3 couples est un multiple de 3. La somme des 7 nombres est -17 ; si on lui retranche le nombre qui n’a pas été choisi on doit donc obtenir un multiple de 3. Comme -17 n’est pas multiple de 3, le nombre exclu n’est pas -9, ni 0, ni -3. Comme -17 + 5 = -12 est multiple de 3, le nombre -5 pourrait convenir, mais donc pas -4, ni -1 (qui ne diffèrent pas de -5 d’un multiple de 3). La seule possibilité est donc d’omettre -5. Il y a donc au plus une solution, et si l’énoncé est juste (et il serait malséant de le contester) c’est effectivement une solution.

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