Un défi par semaine

Février 2014, 3ème défi

Le 21 février 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 8 :

Les points $L$, $M$ et $N$ sont les milieux des arêtes du cube. Combien mesure
l’angle $LMN$ ?

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Solution du 2ème défi de février

Enoncé

La réponse est $-5$.

Observons que la somme des nombres de chaque couple doit être paire. En effet l’unique manière d’obtenir une somme impaire est d’ajouter un nombre pair avec un impair et il y a seulement
deux nombres pairs dans la liste. Il s’ensuit que $0$ et $-4$ doivent rester ensemble. Par conséquent, la somme des nombres de chaque couple est $-4$. Il est facile de voir que les autres possibilités
pour obtenir $-4$ sont d’ajouter $-9$ avec $5$ et $-1$ avec $-3$. Par conséquent, le nombre qui n’a pas été choisi est $-5$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2014, 3ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Les courbes de Jordan, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

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  • Février, 3ème défi

    le 26 février 2014 à 23:05, par Daniate

    Astucieuse idée d’utiliser les produits scalaires, bien qu’un repère ne soit pas nécessaire. La décomposition des vecteurs ML et MN en MB+BL et MF+FN donne 4 produits dont 3 sont nuls et le dernier donne - MB². Les normes ML et MN sont égales à MB racine de 2 et leur produit est 2MB². On retrouve bien un cosinus de -1/2. Léger problème ici, le cosinus n’est pas bijectif il faut donc justifier que l’angle LMN est inférieur à pi.

    Je donne maintenant une démonstration purement géométrique. Avant je dois corriger les notations de orion8 : P est le milieu de [DH] et Q est le milieu de [AD]

    Dans la symétrie d’axe (MP) le cube est globalement invariant et les points L et N sont images l’un de l’autre. Les angles LMP et NMP sont donc égaux. Le triangle KLM (K centre du cube) est équilatéral puisque ses trois sont égaux à une demi diagonale d’une face du cube. etc ...

    Répondre à ce message

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