Un défi par semaine
Février 2014, 4ème défi
El 28 febrero 2014 Ver los comentarios (4)Leer el artículo en
Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.
Semaine 9 :
Soit $p=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot \ldots$ le produit de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à $2014$ et $q=3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot\ldots$ le produit de tous les nombres impairs inférieurs ou
égaux à $2013$. Quel est le chiffre des dizaines du produit $pq$?
Solution du 3ème défi de février
La réponse est $120^\circ$.
Supposons que les arêtes du cube mesurent $2$. Observons d’abord
qu’en utilisant le théorème de
Pythagore dans le
triangle $LAM$ on obtient $LM=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$. Soit $O$ le milieu de l’arête du cube, comme le montre la figure. On a alors $LM=MN=LO=\sqrt{2}$, et $NOL$ est un triangle rectangle avec un angle
droit en $O$. Utilisant le théorème de Pythagore une deuxième
fois, on a $NL=\sqrt{LO^2+NO^2}=\sqrt{2+4}=\sqrt 6$.
Donc, le triangle $LMN$ est tel que $LM=MN=\sqrt{2}$ et $NL=\sqrt{6}$. Soit $x$ la mesure de l’angle $LMN$. Utilisant la loi des cosinus on a alors
$NL^2 = LM^2+MN^2-2LM\cdot MN \cos x$
$6 = 2+2-2(\sqrt 2)(\sqrt 2) \cos x$
$2 = -4\cos x$
$\cos x = -\frac{1}{2}.$
Si on examine le triangle équilatéral, on peut voir que $\cos 60^\circ=\frac{1}{2}$, donc $\cos x=-\cos 60^\circ=\cos 120^\circ$. Par conséquent, l’angle $LMN$ mesure $120^\circ$.
Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.
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Para citar este artículo:
Ana Rechtman — «Février 2014, 4ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014
Comentario sobre el artículo
Février, 4ème défi
le 28 de febrero de 2014 à 09:58, par Daniate
Février, 4ème défi
le 28 de febrero de 2014 à 17:20, par jokemath
Février, 4ème défi
le 28 de febrero de 2014 à 18:39, par Daniate
Février, 4ème défi
le 28 de febrero de 2014 à 23:16, par jokemath