Une colonie de fourmis tombe soudainement sur un morceau de branche abandonné par terre et se met alors en mouvement ; certaines fourmis partent vers la gauche, les autres vers la droite.

• Lorsque deux fourmis se retrouvent nez-à-nez, elles rebondissent comme deux billes de billard et repartent en sens opposé : celle qui marchait initialement vers la droite (resp. gauche) se retrouve à marcher vers la gauche (resp. droite). L’image suivante illustre la situation.

• Lorsqu’une fourmi arrive à l’une des deux extrémités de la branche, elle chute de la branche.

Problème :
Combien de temps faudra-t-il au maximum pour que toute la colonie de fourmis chute de la branche ?

Une petite animation pour illustrer le problème

Réponse à l’énigme

La réponse à l’énigme devient évidente si on a l’idée de cligner des yeux à chaque fois que deux fourmis se retrouvent nez-à-nez. En effet, si on cligne des yeux pendant les quelques instants où deux fourmis rebondissent l’une sur l’autre, lorsqu’on rouvre les yeux, il est impossible de savoir ce qu’il s’est réellement passé... Les deux fourmis ont pu rebondir l’une sur l’autre comme c’était la règle mais nos fourmis imaginaires ont tout aussi bien pu passer l’une au travers de l’autre et ainsi continuer leurs trajectoires comme si de rien n’était. C’est ce qu’illustre l’animation suivante : sur la branche du bas, les fourmis avancent imperturbablement en ligne droite.

On en déduit donc que le temps mis par la colonie de fourmis pour chuter de la branche est au plus égal au temps mis par une seule fourmi pour parcourir toute la branche et ce, quel que soit le nombre de fourmis dans la colonie.

Tout simple, non ? Mais encore fallait-il y penser... [1]