Geometría, medir la Tierra, ¿medir la Tierra ?

Una conferencia en una librería

Piste verte Le 21 juillet 2019  - Ecrit par  Michèle Audin
Le 4 novembre 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Géométrie, mesurer la terre, mesurer la Terre ? Voir les commentaires
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El 16 de febrero de 2013, di una clase en una librería. Los auditores eran estudiantes universitarios de matemáticas, más un público desconocido que habíamos bautizado previamente como ’’el resto del mundo’’. Como yo no sabía lo que era ese ’’resto del mundo’’, había preparado una charla muy accesible. Como esto tenía lugar en una librería, había escogido utilizar numerosos libros, de géneros muy diferentes.

Para conservar un poco la atmósfera excepcional de esa ’’clase’’, algunas de las figuras que ilustran este artículo son fotografías tomadas ahí mismo. Un artículo ’’en vivo’’, como se dice.

Geometría. Medición de la tierra, pensé siempre, yo que no soy helenista : ’’la ciencia de medir el terreno’’, leí mientras preparaba la clase.

Medición de la Tierra

Una imagen de geómetras griegos, viejos caballeros barbudos, vestidos de próbida candidez y de lino blanco [1], midiendo campos rectangulares, triangulares, circulares... Acerca de la medición de los campos circulares habría mucho que decir, pero por ahora decidimos limitarnos a los triángulos. Además, ¡hay mucho que hacer !

La suma de los ángulos de un triángulo vale 180 grados. Todos lo aprendimos en el colegio. Es un resultado de la geometría griega (¡euclidiana !) y además una consecuencia del famoso « postulado de las paralelas » de Euclides : se traza la paralela a un lado pasando por el tercer vértice (la recta roja). Como los ángulos del mismo color son iguales, la suma de los tres ángulos es un ángulo extendido.

Pero... ¡la Tierra es redonda !

Una expresión del hecho de que es una esfera. ¿Y ahora, qué es un triángulo ? Un triángulo tiene tres lados. Nos basta entonces con comprender lo que es un lado, una « línea recta » sobre una esfera : simplemente el camino más corto de un punto a otro. Por lo tanto, lo que se llama una ’’gran circunferencia’’ o ’’circunferencia mayor’’, como los meridianos de un globo terráqueo o el ecuador.

Una circunferencia mayor es la intersección de un plano que pasa por el centro de la esfera con esta.

Un ejemplo de triángulo sobre la Tierra está representado en la figura. Los vértices son el polo norte (el punto $N$), y las ciudades de Accra -en Ghana- y de Colombo -en Sri Lanka- (los puntos $A$ y $C$, respectivamente). Los lados son, aproximadamente, un pedazo del ecuador y dos meridianos. Los ángulos sobre el ecuador son rectos (todos los meridianos son perpendiculares al ecuador) ; el ángulo al polo norte también es más o menos de 90 grados (es la diferencia entre las longitudes de Colombo y de Accra). La longitud reaparecerá más abajo.

Y ahí está, ¡catástrofe ! : un triángulo con tres ángulos rectos...

Sobre una esfera la suma de los ángulos de un triángulo es, en efecto, siempre mayor que 180 grados [2], lo que tiene consecuencias prácticas terribles, especialmente el hecho de que no se pueda dibujar un mapa de la Tierra, ni siquiera de una parte de la Tierra, sobre el cual las distancias y los ángulos sean a la vez precisos [3].

Afortunadamente, en los triángulos pequeños la suma de los ángulos es muy cercana a 180 grados [4]. Esto es lo que permite utilizar la geometría euclidiana para medir la tierra... pero también para medir ¡la Tierra !

¿Cómo se mide la Tierra ?

Precisemos la pregunta : ¿cómo se mide la Tierra, quedándose sobre la Tierra ? Por supuesto, uno puede utilizar satélites artificiales y eso es lo que se hace hoy en día, pero pensemos por ejemplo en el siglo XVIII. En aquel tiempo la especie humana y sus instrumentos de medición estaban pegados a la superficie del planeta. Y, sin embargo, medían.

Admitamos entonces (pero es provisorio) que la Tierra tenga la forma de una esfera. Supongamos que uno sepa medir la longitud de un meridiano : es un círculo cuyo radio es el de la Tierra. Si uno conoce su longitud, conoce también su radio [5]. Esperamos, por lo tanto -o al menos nuestros antiguos colegas lo esperaban- conocer la longitud del meridiano.

Evidentemente no se trata de utilizar una cadena de agrimensor, o una regla, que uno pasearía desde el polo norte hasta el polo sur. Demasiados errores. Habría que tomar en cuenta el relieve y ¿cómo estar seguro de que uno avanza realmente en línea recta ?

Notemos que, por el contrario, es muy fácil medir ángulos en altura, digamos el ángulo entre la recta que une la cúspide del edificio del Panteón de París con el molino de Belle Assise y la que une la misma cúspide con la localidad de Brie. En el siglo XVIII se sabía hacer eso con enorme precisión y con un instrumento llamado teodolito. Aquí está entonces la astucia de la triangulación del meridiano [6].

Un pequeño preliminar. Volvamos ahora a los triángulos planos. Los más viejos de nosotros aprendimos en nuestra infancia los « casos de congruencia de los triángulos », expresiones bastante poéticas pero no siempre muy claras, como

Dos triángulos son congruentes si tienen un lado igual comprendido entre dos lados iguales

(lo cito de memoria). En términos menos poéticos pero más simples : si usted conoce un lado de un triángulo y los dos ángulos en los extremos de ese lado, usted conoce ese triángulo. Esto es muy claro si uno quiere observar la figura. Se dibuja el lado y los dos ángulos conocidos (en rojo), luego se prolonga (las dos rectas negras) y se obtiene el triángulo. Si usted conoce todo el triángulo, conoce en particular las longitudes de sus tres lados. Por supuesto, esto quiere decir que hay fórmulas para ello [7], fórmulas de las cuales en este artículo nos contentaremos con tener la certeza teórica de que existen.

Conclusión : bueno, así es como se mide un arco de meridiano (en rojo sobre la figura). Se mide un solo lado de un sólo triángulo (a ese lado se llama la base), todos los ángulos, y se puede calcular todas las longitudes esperadas.

En la librería, leí un pasaje de un libro escrito por un historiador, Ken Alder [8], dedicado a la medición del meridiano de París, de Dunkerque a Barcelona, por equipos dirigidos por los astrónomos Delambre y Méchain en 1792 y después.

Aquí muestro un pasaje de la novela Aventuras de tres rusos y tres ingleses en África austral, de Jules Verne [9] :


Medir una base se hace con reglas y bastantes precauciones, de preferencia en un lugar muy plano. El desierto del Kalahari era sin duda muy adecuado. En el caso de la medición del meridiano de París por Delambre y Méchain, la base fue elegida en una parte de la planicie de Brie, en el molino de Belle-Assise en Brie.

Note que se utiliza geometría plana, con triángulos cuya suma de los ángulos vale 180 grados (son triángulos pequeños), para medir un arco de gran círculo.


Esto plantea varias preguntas

  • ¿Por qué Delambre y Méchain medían el meridiano de París ? ¿Por qué se mide un meridiano ?
  • ¿Basta con medir un arco (un fragmento) del meridiano, aquí desde Dunkerque a Barcelona, para conocer su longitud ?
  • ¿Cuál meridiano se mide ?
  • Y además, ¿qué es el meridiano de París (pregunta hecha por un auditor durante la clase) ?

Y sin duda otras también [10], pero voy a conformarme con estas.

¿Por qué Delambre y Méchain medían ?

¿Por qué los tres rusos y los tres ingleses de Jules Verne miden el meridiano ? No voy a discutir el asunto aquí. Lea el libro.

Delambre y Méchain, dos astrónomos, eminencias y sabios respetados, habían sido enviados por el poder político [11] de 1792, para medir el meridiano de manera suficientemente precisa como para poder deducir de él un metro-patrón, llamado a convertirse en la unidad de longitud universal. Les remito al libro citado [12] para informaciones apasionantes acerca de los pormenores de esta voluntad, así como acerca de las aventuras vividas por nuestros astrónomos : desconocidos, armados con teodolitos y recorriendo -hay que decirlo- los campos franceses durante aquel periodo agitado, debieron vivir necesariamente experiencias que, aquellos y aquellas que ven a los científicos como calmados y apacibles funcionarios, difícilmente imaginan. Barcelona les reservaba también algunas sorpresas.

¿Qué es el meridiano de París ? ¿Qué meridiano se mide ?

Una posible respuesta es : la avenida del Observatorio.
L'avenue de l'Observatoire, au fond l'Observatoire de Paris (photo MA).
Para definir el ’’meridiano de París’’, bastaba con elegir un punto en París, y de ese modo el único meridiano que pasa por ese punto. Elegido ese punto, el 21 de junio de 1667, se construyó el Observatorio de París. El meridiano está (estaba) materializado en París mediante diferentes marcas, desde el parque Montsouris hasta la Puerta de Montmartre. La avenida del Observatorio, con su hermosa perspectiva, es un fragmento de ese meridiano.

Si la Tierra es redonda, todos sus meridianos tienen la misma longitud y se puede medir cualquiera de ellos. Los astrónomos que miden el meridiano para definir el metro, una unidad con vocación tan universal como los ideales de la Revolución Francesa, miden por supuesto el meridiano de París : lo que miden es el mundo... ¡no 9 grados de un arco de meridiano !

Se impone aquí un paréntesis acerca de la elección (geopolítica) de un meridiano.

Latitud, y sobre todo longitud

La Tierra gira, es un hecho -sobre el cual volveremos- y lo hace alrededor de un eje. Este eje ’’perfora’’ la Tierra en dos puntos, los dos polos, que por lo tanto -y al igual que el ecuador- nos son ’’dados por la naturaleza’’. La latitud marca nuestra posición entre el ecuador y el polo más cercano : $0$ grados en Accra, 48 grados 35 minutos y 4 segundos norte en Estrasburgo, 90 grados sur en el polo sur. Se determina su latitud con ayuda de la altura del sol y de un sextante.

La longitud... ¡eso es otra cosa ! Trate de marcar un punto sobre el ecuador por ejemplo, sin haber elegido un origen. Pedimos aquí ayuda a Tintin, en El Tesoro de Rackham el Rojo, del cual desgraciadamente está prohibido recopiar aquí los globos de historieta más sabrosos :

  • aquellos, página 21, donde el capitán Hadock anuncia


    — Miren. Estamos en el punto indicado por los pergaminos. Deberíamos ver pronto la isla cerca de la cual se hundió el Unicornio...

    después de lo cual todo el mundo busca, nadie ve nada, en todo caso nadie ve la isla...

  • y estos, página 23,


    — Capitán, ¡somos unos burros !...
    — ¿Qué quiere decir ?
    — Veamos capitán, el meridiano en referencia al cual usted contó los grados de latitud, ¿es naturalmente el meridiano de Greenwich ?...
    — ¡Evidentemente, no iba a ser el de Tombuctú !
    — ¡Escuche ! el caballero de Hadoque ciertamente contó tomando como origen el meridiano de París, ¡que está situado a más de dos grados al este del meridiano de Greenwich !..
    — ¡Rayos y truenos !

Sin embargo, Jules Verne (¡una vez más !) había advertido anteriormente a Tintin y sus amigos, en La isla misteriosa (en el capítulo 14), que la longitud es relativa a un meridiano. Concretamente, para determinar su longitud se necesita un reloj :

Cuando pensó que el momento había llegado, Cyrus Smith se arrodilló sobre la arena y, por medio de pequeñas marcas de madera que colocaba en la arena, comenzó a apuntar las disminuciones sucesivas de la sombra de la varilla. [...]

El periodista sostenía su cronómetro en la mano, listo para indicar la hora que marcaría cuando la sombra llegara a su punto más corto.

Los náufragos, que no tenían nada más a su llegada a la isla [13], afortunadamente llevaban un reloj, nos dijo Jules Verne en el capítulo 6 :

Ellos no tenían nada, salvo las ropas que vestían en el momento de la catástrofe. Sin embargo es necesario mencionar una libreta y un reloj que Gedeon Spilett había conservado [...]

Reloj cuidadosamente mantenido a la hora (de Washington) y gracias al cual ellos supieron qué hora era en Washington cuando era mediodía sobre su isla. Veinticuatro horas para 360 grados... Así pudieron determinar su diferencia de longitud con Washington, luego su longitud... en relación al meridiano de París, que era aún el meridiano de referencia en 1874 cuando el libro fue publicado, y que se mantuvo hasta 1884 cuando el de Greenwich lo destronó (una elección geopolítica, en un momento en que Francia estaba políticamente debilitada).

¿Basta con medir un arco de meridiano ? ¿O la Tierra es realmente redonda ?

Admitamos, una vez más, que la Tierra es redonda. Si usted conoce la longitud $L$ del arco desde Dunkerque a Barcelona (en rojo) y la diferencia de latitud entre esas dos ciudades (es decir, 9 grados, 39 minutos y 19 segundos [14]), entonces usted conoce la longitud del meridiano completo (el círculo negro), que es $\ell=L\times 360^\circ/9^\circ 39' 19''$ .


Sin embargo, ya en los años 1730, la Academia de Ciencias de Francia había enviado dos equipos para medir arcos de meridiano : uno a Perú, cerca del ecuador, y otro a Laponia, cerca del polo norte. Los ’’astrónomos’’ Maupertuis y Clairaut habían pasado más de un año en el gran norte, triangulando y midiendo.

Debido a que Maupertuis pensaba que la Tierra estaba aplanada en el polo, el arco de meridiano debía ser entonces más corto cerca del polo (el arco verde es más corto que el arco de círculo punteado). Maupertuis defendía la teoría de la gravitación de Newton, de la cual el aplanamiento de la Tierra en los polos era una consecuencia. Recordemos que los Principia de Newton fueron publicados en 1686. Otros científicos pensaban, a su vez, que la Tierra estaba alargada hacia los polos [15]. Había que zanjar el problema. Y la expedición a Laponia confirmó tanto el achatamiento de la Tierra como la pertinencia de la teoría newtoniana.

Es redonda, es achatada y gira

¿Achatada, sí, pero cuánto ? Un 1/178 -ésimo, calculó Maupertuis luego de la expedición a Laponia, lo que quiere decir que el ’’radio’’ de la Tierra al polo es (1-1/178) veces el ’’radio’’ de la Tierra al ecuador. Y esto es bastante preciso como para explicar, numéricamente, un fenómeno ligado a la rotación de la Tierra, la nutación.

Es tiempo de regresar a este hecho : la Tierra gira. Alrededor de su eje. Pero el movimiento es más complicado de lo que uno imagina. Porque el eje de la Tierra a su vez gira. Describe un cono, como está indicado en la figura. Es lo que se llama la precesión de los equinoccios, un fenómeno lento pero muy real, que haría -si uno no tuviera cuidado- que en 13 mil años el mes de abril fuera otoño en el hemisferio norte.

Pero eso no es todo. El cono no es uno [16], hay también pequeñas oscilaciones. Es la nutación.

Nutare había escrito Newton en latín, de un verbo que quiere decir ’’oscilar’’.

Ya que Newton había previsto y calculado la nutación, en el siglo XVIII un astrónomo inglés, James Bradley descubrió experimentalmente esta nutación, observando la estrella gamma de la constelación del Dragón, que está en el cenit de Londres.

Yo ya mencioné que se medía los ángulos con mucha precisión. Bueno, mire esto : entre 1727 y 1737, Bradley descubre -al observar esta estrella- que ella oscila... en 17’’ (segundos de arco) con un período de ¡un poco más de dieciocho años ! Impresionante ¿no ?

En la asamblea pública de la Academia de Ciencias francesa, el 3 de noviembre de 1737, Maupertuis da un discurso acerca de la expedición a Laponia y al hablar de las observaciones anuncia el nuevo descubrimiento de Bradley.

D’Alembert va a hacer cuadrar en 1749, en su memoria acerca de la precesión y nutación, este valor numérico con el 1/178 -ésimo de Maupertuis.

No es el mismo de aquellas [las observaciones] que el ilustre Sr. Bradley acaba de publicar, & por las cuales él encuentra que el eje de la Tierra está sujeto a una nutación sensible, es decir a una especie de balanceo o de vibración [...]

escribe d’Alembert incluso en 1749, esto es, antes de verificar -mediante cálculo- las observaciones de Bradley [17].

En la librería...

Durante la conferencia ’’extra-muros’’ en la librería, yo expliqué precesión y nutación haciendo girar un trompo : la rotación del trompo alrededor de su eje se acompaña también por una precesión y una nutación de ese eje. Mencioné también el hecho de que los meridianos no tienen realmente todos la misma longitud, como si la Tierra estuviera un poco achatada, no sólo en los polos. En el siglo XIX se hablaba de un elipsoide (aún es una aproximación ya que la forma de la Tierra [18] es mucho más irregular que eso). Mencioné al general ruso Schubert [19] citado por Weierstrass en un artículo sobre las geodésicas de un elipsoide en 1861 [20], y que da las siguientes medidas para los tres ejes de la Tierra, considerada como un elipsoide :

Grösseste Axe der Erde 3 272 671,5 Toisen

Mittlere 3 272 303,2 Toisen

Kleinste 3 261 467,8 Toisen [21] [22].

... ¿Y la investigación ? ¿y hoy en día ?

... y no pude resistir el placer de mencionar a Sophie Kowalevski, nieta del general Schubert y alumna de Weierstrass, quien había comprendido tan bien que ’’movimiento de un trompo’’ y ’’geodésicas del elipsoide’’ eran dos ’’sistemas’’ de la misma naturaleza.

Es así -expliqué en la librería- como funciona la investigación en matemáticas, y es así como funcionaba ya en el siglo XIX : uno descubre similitudes, parecidos entre dos fenómenos aparentemente muy distintos, de eso se hace una nueva teoría, un poco más general, que permite resolver nuevos problemas.

¿Y hoy en día ? Después de todo nosotros estamos en un sitio del CNRS [23] y tengo la misión de hablar aquí de la investigación contemporánea. Bueno, algunos matemáticos trabajan todavía para comprender lo que hace la especificidad de sistemas tales como el movimiento de un trompo, las geodésicas del elipsoide, que tienen un comportamiento muy regular y que se les llama sistemas integrables ; o por el contrario, se interesan en los sistemas de comportamiento más caótico (como los que se encuentra mucho en este sitio).

Para volver a un objeto mencionado aquí arriba a propósito de la medición de la Tierra -el satélite- mencionemos por ejemplo que se ha podido mostrar muy recientemente (en el siglo XX) que el movimiento de un satélite alrededor de su centro de gravedad no era completamente integrable. Pero esto nos llevaría demasiado lejos (por ejemplo aquí).


Los objetos que llevé :

  • un globo terráqueo
  • un trompo

libros que abrí, hojeé, de los cuales leí pasajes :

  • Géométrie
  • Mesurer le monde. 1792-1799 : l’incroyable histoire de l’invention du mètre, de Ken Alder
  • Le trésor de Rackham le Rouge, de Hergé
  • L’île mystérieuse, de Jules Verne
  • Précession et nutation, un volumen de las Obras Completas de d’Alembert
  • Souvenirs sur Sofia Kovalevskaya,

y una buena parte del público [24].


Article original édité par Michèle Audin

Notes

[1Se puede encontrar cándidos viejos caballeros barbudos así vestidos, especialmente en el siempre excelente Géométricon (Jean-Pierre Petit). El zeugma está sacado de Booz adormecido, en La leyenda de los siglos (Victor Hugo).

[2Mencionemos también que sobre la esfera no hay ’’paralelas »’’ dos circunferencias mayores siempre se cortan. Por ejemplo, dos meridianos se cortan en los dos polos.

[3La proyección estereográfica es un ejemplo de ’’mapa’’ en el cual los ángulos están correctos pero las distancias son dramáticamente malas, lo que no le impide entregar muy bonitas imágenes.

[4Una versión precisa de esta aseveración es la fórmula de Girard, que dice que la suma de los ángulos de un triángulo esférico es 180 grados más el área del triángulo (sobre una esfera de radio 1). Mientras más pequeña es el área, la suma de los ángulos es más cercana a 180 grados.

[5Si el radio se llama $R$, la longitud del meridiano es $2\pi R$. Si la longitud del meridiano se llama $\ell$, el radio es $\ell/2\pi$...

[6Un ejemplo de triangulación que ya fue objeto desde el principio de un artículo (epónimo) de Julien Marché en este sitio.

[7Fórmulas ’’trigonométricas’’, de nuevo una palabra griega, bien adaptada ya que trigonometría significa medición de triángulos, refinamientos del teorema de Pitágoras.

[9ese libro, dedicado a la medición de un arco de meridiano en el desierto de Kalahari, en el sur de África, parece que desgraciadamente no está disponible en la actualidad. La fotografía es de mi ejemplar, que no quise destruir para escanearlo.

[10Por ejemplo, ¿cómo se sabe que dos puntos están sobre el mismo meridiano ?

[11En aquel tiempo, el poder político respetaba a sus científicos (un comentario irresistible)

[12A veces irritante, siempre apasionante.

[13Sería un buen lugar para señalar, en una nueva disgresión, la hermosa aplicación del teorema de Tales, gracias a la cual nuestros héroes calcularon la altura de un acantilado, algunas páginas antes, pero eso ya se hizo en una nota publicada en este sitio.

[14Diferencia entre 51° 02’ 18’’ (la latitud de Dunkerque) y 41° 22’ 59’’ (la de Barcelona), si no me he equivocado.

[15Esto nos hace recordar la guerra entre los partidarios de quebrar los huevos a lo largo y los que querían quebrarlos a lo ancho en Los Viajes de Gulliver, publicado en 1721...

[16En este artículo, cada vez que uno aceptó cualquier cosa, hemos tenido que modificarlo después...

[17Œuvres de d’Alembert, volume 7, Précession et nutation, page 24.

[18Decir que la Tierra tiene la forma de un geoide es, desde luego, cometer un pleonasmo.

[19En Essai d’une détermination de la véritable figure de la Terre, publicado en San Petersburgo en 1859.

[20Una muy linda figura en este sitio muestra una Tierra elipsoidal.

[21Se trata de los ejes grande, mediano y mediano de la Tierra... y por supuesto está medido en toises.. La unidad de medida universal, el metro, no estaba aún adoptada en Rusia, al parecer

[22NdT : Toise era una medida de longitud utilizada en Suiza, Portugal y Francia antes de la Revolución y hasta avanzado el siglo XIX. En 1866 se determinó su equivalencia en exactamente 1,94903632 mts

[23NdT : Centro Nacional para la Investigación Científica de Francia

[24Gracias a todos los estudiantes que me acompañaron...y a Christine Huyghe por la idea, los temas matemáticos, la logística y las fotos de la conferencia.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Geometría, medir la Tierra, ¿medir la Tierra ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Le méridien de Paris - Photo de Michèle Audin

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