Sur l’anamorphose

Nous voulons revenir sur le problème, déjà évoqué dans la Note I, de trouver le « meilleur modèle possible » d’un nomogramme donné. Très clairement, les nomogrammes dont toutes les isoplèthes (i.e. les lignes cotées) sont rectilignes sont parmi les plus faciles à utiliser dans la pratique, en utilisant une règle par exemple. Selon la terminologie classique, un tel nomogramme est dit « à droites concourantes ». Nous dirons aussi qu’il est « rectiligne » ou « rectifié ».
Voici un exemple d’un tel nomogramme :

La question qui nous occupe ici est celle de savoir si un nomogramme donné peut-être rectifié (c’est-à-dire rendu rectiligne) via une « anamorphose », c’est-à-dire via un changement de coordonnées. Nous dirons donc dans cette section qu’un
« meilleur modèle possible » d’un nomogramme donné ${ \mathcal N}$ est un abaque à droites concourantes équivalent à ${ \mathcal N}$. Bien sûr, il n’est pas certain qu’un tel modèle existe et, d’ailleurs, ce n’est en général pas le cas. La caractérisation des abaques qui sont « rectifiables », c’est-à-dire susceptibles d’être rectifiés, est un problème qui s’énonce simplement mais qui se révèle compliqué à résoudre. Nous ne rentrerons pas dans les détails mais dirons seulement que pour aborder cette question, il est nécessaire d’adopter un point de vue conceptuel, en considérant non pas l’abaque lui-même, mais plutôt l’objet mathématique abstrait qui lui correspond. Le lecteur curieux d’en savoir
sur le cadre conceptuel adapté à l’étude des abaques peut cliquer ci-dessous.

$\Large{A}$namorphose de Lalanne

La question, étudiée en premier par Léon-Louis Lalanne, est celle de savoir si un nomogramme normalisé est susceptible d’être rectifié « par anamorphose ». Comme deux des familles d’isoplèthes d’un abaque normalisé sont formées de segments rectilignes verticaux ou horizontaux, il est naturel de ne considérer que les anamorphoses qui conservent les droites verticales et les droites horizontales afin de conserver le caractère normalisé du nomogramme considéré.
Plus mathématiquement, Lalanne s’intéresse à la rectifiabilité des abaques au moyen d’anamorphoses de la forme
\[\begin{equation} \label{E:anaLalanne} (x,y)\longmapsto \Big(H(x),V(y)\Big)\, , \end{equation}\]
où $H$ et $V$ sont des fonctions d’une seule variable.

Convenons de dire qu’un abaque est « parallèle » s’il est formé de trois familles de segments de droites parallèles, et qu’il est « parallélisable » (ou « susceptible d’anamorphose » selon la terminologie classique) s’il est équivalent, via un changement de coordonnées, à un nomogramme parallèle. Les abaques parallèles représentent les lois mathématiques pouvant s’écrire sous la forme \[A(x)+B(y)+C(z)=0\] pour certaines fonctions $A,B$ et $C$ d’une variable.

Figure 1 : un nomogramme parallèle

De tous les nomogrammes, il est clair que les abaques parallèles sont ceux dont l’utilisation est la plus simple. C’est sans doute cette raison qui a poussé
Lalanne à chercher à « paralléliser » un abaque normalisé donné $\mathcal N$ au moyen d’anamorphoses de la forme $\ref{E:anaLalanne}$.

Cette question présente plusieurs aspects :

1. le premier est celui d’établir un critère explicite permettant de savoir si l’abaque $\mathcal N$ est ou non parallélisable via une anamorphose $\ref{E:anaLalanne}$ ;
2. ensuite, quand l’anamorphose « à la Lalanne » est possible, on peut se
   poser la question de son unicité : existe-t-il un ou plusieurs changements de coordonnées du type $\ref{E:anaLalanne}$ qui parallélisent $\mathcal N$ ?
3. enfin, et plus concrètement, encore dans le cas où l’anamorphose « à la Lalanne » est possible, il faudrait avoir une méthode pour construire une (ou les) anamorphose(s) $\ref{E:anaLalanne}$ qui rend(ent) $\mathcal N$ parallèle ;

Nous ne parlerons pas du dernier aspect de cette question. Le second est discuté (dans un cadre plus général) dans le paragraphe « La conjecture de Gronwall », ci dessous. Quant au premier aspect évoqué, une réponse tout à fait satisfaisante et jolie lui est donnée par le résultat suivant :

Ce que signifie l’assertion i. a été expliqué plus haut. L’assertion ii. est simplement un critère différentiel portant sur la fonction $f$. Par contre, il n’a pas encore été question d’hexagonalité et cette notion demande à être
expliquée. Notons $\mathcal F,\mathcal F'$ et $\mathcal F''$ les trois familles d’isoplèthes de l’abaque $\mathcal N$ considéré. L’hexagonalité de $\mathcal N$ se définit en termes de « fermeture de certaines configurations qui s’obtiennent en se promenant le long des isoplèthes de $\mathcal N$ »... Mais encore ? Eh bien, considérons trois isoplèthes ${\rm L},{\rm L}'$ et ${\rm L}''$ de $\mathcal N$ qui passent toutes par un même point ${\rm O}$. Donnons-nous un point ${\rm p}$ sur l’une d’entre elles, par exemple sur ${\rm L}"$. On va alors se déplacer le long des isoplèthes de $\mathcal N$ de la façon suivante : on commence la promenade en allant vers ${\rm L}'$ en se déplaçant le long de la courbe ${\rm L}({\rm p})$ de la famille $\mathcal F$ qui passe par ${\rm p}$.
Le début de la balade est illustré ci-dessous ($\mathcal F$ est formée des segments horizontaux bleus, $\mathcal F'$ des segments verticaux verts et $\mathcal F''$ des courbes orangées) :

On change de direction lorsqu’on rencontre ${\rm L}'$ : dès qu’on arrive au point d’intersection ${\rm p}_1$ de ${\rm L}({\rm p})$ avec ${\rm L}'$, on quitte ${\rm L}({\rm p})$ pour continuer vers ${\rm L}$ en folâtrant le long de l’isoplèthe ${\rm L}"({\rm p}_1)$ de la famille $\mathcal F''$ qui passe par ${\rm p}_1$ :

Comme pour l’étape de ${\rm p}$ à ${\rm p}_1$, on s’arrête au point ${\rm p}_2$ d’intersection entre ${\rm L}$ et ${\rm L}"({\rm p}_1)$. On quitte alors
${\rm p}_2$ pour aller vers ${\rm L}''$ en se déplaçant le long de l’isoplèthe ${\rm L}'({\rm p}_2)$... et on continue l’excursion selon la même procédure pour faire un « grand tour » qui va nous faire revenir sur ${\rm L}''$, en un point que l’on note ${\rm q}$ et qui est proche de ${\rm p}$. L’animation suivante (réalisée par Jos Leys) donne un aperçu de la promenade dans son ensemble :

En général, on ne revient pas exactement au point de départ à la fin de l’excursion. Cela est bien illustré par l’animation ci-dessus puisqu’on voit bien à la fin que les points ${\rm p}$ et ${\rm q}$ sont distincts. Mais il aurait pu se trouver que l’on retombe exactement sur ${\rm p}$ après un tour. Notre trajet formerait alors une figure à six côtés, une sorte d’hexagone. C’est de là que provient la terminologie de la définition suivante : un abaque est dit être « hexagonal » si l’on retombe toujours sur le point de départ lorsqu’on fait une balade comme expliqué ci-dessus, et cela quels que soient ${\rm O}$ et le point ${\rm p}$ choisis sur une isoplèthe du nomogramme passant par ${\rm O}$.

L’abaque $\mathcal A$ utilisé dans l’animation vidéo est associé à la relation $u(x,y)=z$ où $u$ désigne la fonction
$u(x,y)=x^2y-x+y$. On a vu géométriquement sur cette vidéo que $\mathcal A$ n’est pas hexagonal (puisqu’au moins un “hexagone” ne se referme pas). On aurait aussi pu le vérifier en utilisant le point ii. du théorème, puisqu’on établit assez facilement que l’expression $\frac{\partial^2 }{\partial x \partial y}( \log ({ \frac{\partial u}{\partial x}}/{ \frac{\partial u}{\partial y}}))$ n’est pas identiquement nulle. À l’inverse, le lecteur curieux peut vérifier graphiquement qu’un abaque parallèle est hexagonal.

La beauté et l’intérêt du théorème ci-dessus découlent du fait que les points i., ii. et iii. qui y sont mis en équivalence sont de nature différente. Le point i. concerne l’existence d’une forme équivalente particulièrement simple de l’abaque qu’on considère. Le point ii. est un critère consistant en la vérification d’une équation aux dérivées partielles : c’est un critère différentiel. Le point iii. est un critère de fermeture de certaines configurations et est de nature plus géométrique.

L’équivalence des points i. et ii. du théorème a été démontrée en 1871 par le comte Paul de Saint-Robert dans [St.-Robert] et a été redécouverte de nombreuses fois par la suite. On peut dire que ce théorème a eu beaucoup de succès.
Il a, par exemple, suffisamment intéressé un groupe de mathématiciens allemands vers la fin des années 1920 pour qu’ils le généralisent, ce qui les amenèrent a fonder une branche assez spécialisée de la géométrie, maintenant connue sous le nom de « géométrie des tissus ». Bien plus tard, deux récipiendaires du prix Nobel d’économie (G. Debreu et P. Samuelson) ont à leur tour (de façon indépendante) en partie retrouvé et utilisé ce théorème dans leur travaux en économie.

$\Large{A}$namorphose généralisée

C’est l’ingénieur Belge Junius Massau qui a réalisé qu’il était intéressant en nomographie de permettre des anamorphoses (i.e. des changements de coordonnées) plus générales que celles considérées par Lalanne. En effet, si les abaques les plus simples d’utilisation sont bien sûr les abaques normalisés à droites concourantes (i.e. les abaque rectifiés dont deux des trois familles de lignes cotées sont formées de segments horizontaux et verticaux), il est clair que les nomogrammes à droites concourantes les plus généraux ne sont pas vraiment plus compliqués à utiliser dans la pratique.
Pour que la différence entre ces deux types d’abaques soit bien claire, on a représenté ci-dessous un abaque normalisé rectiligne (à gauche) et un abaque rectiligne quelconque (à droite).

Disons quelques mots de l’approche de Massau. Soit $\mathcal N$ un nomogramme dont on note $\mathcal F_i$ (avec $i=1,2,3$) les trois familles d’ispolèthes. L’idée de Massau est d’essayer de trouver un modèle rectiligne de $\mathcal N$ non pas au moyen d’une anamorphose de la forme $\ref{E:anaLalanne}$, mais via un changement de coordonnées de la forme la plus générale possible, c’est-à-dire du type
\[\begin{equation} \label{E:anaMassau} (x,y)\longmapsto \Big(M(x,y),N(x,y)\Big), \end{equation}\]
où $M$ et $N$ sont des fonctions de deux variables.

On doit à Massau le critère suivant :
la relation $\mathcal L(x,y,z)=0$ est susceptible d’être représentée au moyen d’un nomogramme rectiligne si et seulement si il existe des fonctions d’une variable $f_i,g_i,h_i$ pour $i=1,2,3$ telles que $\mathcal L(x,y,z)=0$ soit équivalent à
\[\begin{equation} \label{E:FormDet} \begin{vmatrix} f_1(x) & f_2(x) & f_3(x) \\ g_1(y) & g_2(y) & g_3(y) \\ h_1(z) & h_2(z) & h_3(z) \\ \end{vmatrix}=0 \end{equation}\]
(où les barres verticales indiquent qu’on considère le déterminant de la matrice carrée de taille $3\times 3$ délimitée par ces barres).

Une question fondamentale et naturelle en théorie des abaques
est celle de savoir si un nomogramme donné est rectifiable ou non, au moyen d’un changement de coordonnées quelconque $\ref{E:anaMassau}$. Cette question est essentiellement équivalente à celle de savoir quand une équation $\ref{E:loi}$ est équivalente à une autre de la forme très particulière $\ref{E:FormDet}$ ci-dessus. Bien que simple à formuler, cette question est ardue, comme le reconnaît d’Ocagne :

“La question, d’un intérêt purement théorique, qui consiste à reconnaître si une équation $F(x,y,z)=0$ quelconque est réductible à la forme $\ref{E:FormDet}$, constitue un difficile problème d’Analyse résolu de la façon la plus remarquable, en 1912, par M. Gronwall dans [Gronwall].’’

Les résultats de Gronwall sont trop techniques pour qu’on en dise un mot ici. En revanche, il est possible de présenter une jolie question soulevée dans [Gronwall] et qui concerne les abaques rectifiables. Le lecteur intéressé peut cliquer ci-dessous pour davantage de précisions.

Nomogrammes rectilignes et à points alignés

Comme on l’a dit, un nomogramme rectiligne est particulièrement facile à manipuler, en utilisant une règle par exemple. En fait, on peut donner une forme encore plus simple aux abaques de ce type en utilisant la « dualité projective ». Il s’agit d’une notion mathématique importante que nous allons maintenant introduire.

$\Large{I}\!$nterlude : La dualité projective

La « dualité projective » dont il va être question ici est un phénomène de géométrie plane, très classique puisque déjà considéré par les mathématiciens de la Grèce antique. On peut la décrire très grossièrement de la façon suivante : « La dualité projective est un procédé qui associe à tout point $p$ du plan une droite $p^*$, et à toute droite $D$ de ce plan, un point $D^*$. De plus, cette dualité préserve la relation d’incidence entre les points et les droites ».

Bien sûr, sans davantage de précision, cela ne signifie pas grand chose dit comme cela et malheureusement (ou heureusement !) nous n’avons pas la place de définir proprement cette dualité projective ici [5]. Nous dirons seulement que la dualité projective dont on parle est naturelle par un grand nombre d’aspects et satisfait beaucoup de propriétés
particulièrement belles. Par exemple, elle est « involutive » : si $p^*$ est la droite associée à un point $p$ du plan par cette dualité, il se trouve que le point associé à la droite $p^*$ par cette même dualité n’est rien d’autre que le point $p$ de départ.
En langage mathématique, cela s’écrit de la façon suivante [6] :
\[ (p^*)^*=p.\] La propriété la plus importante de la dualité projective est sans doute qu’elle préserve la relation d’incidence entre les points et les droites. En effet, un point $p$ est incident avec une droite $D$ (c’est-à-dire $p\in D$, i.e. $p$ est sur $D$) si et seulement si le point $D^*$ et la droite $p^*$ sont incidents (c’est-à-dire $D^*$ est sur $p^*$). Cette propriété très importante s’écrit mathématiquement
\[ p\in D \; \Longleftrightarrow D^*\in p^* \]
et se dessine de la façon suivante :

Après ces généralités un peu vagues, nous espérons être plus parlant en expliquant maintenant un procédé concret essentiellement équivalent à la dualité projective [7]. Pour cela, donnons nous un cercle $C$ dans le plan [8], arbitraire mais fixé. Nous allons expliquer comment construire géométriquement la droite duale $p^*$ d’un point $p$ du plan. La construction de $p^*$ que nous allons décrire va dépendre du choix du cercle $C$, mais d’une façon qui n’est pas du tout essentielle vu notre propos.

Supposons pour simplifier que le point $p$ se trouve en dehors du disque délimité par $C$. Alors il existe exactement deux droites $D'$ et $D''$ passant par $p$ et qui sont tangentes à $C$ en deux points que l’on note $p'$ et $p''$ respectivement. Par définition, la « droite $p^*$ associée au point $p$ via la dualité projective » est la droite reliant $p'$ et $p''$ ; en termes mathématiques, on a $p^*=(p'p'')$.
Il suffit d’inverser la construction précédente pour déterminer le point $D^*$ associé à une droite $D$ qui intersecte le cercle $C$ en deux points distincts.

Pour être complet dans la description de la corrélation par rapport à $C$, il faudrait aussi considérer deux autres cas possibles. Lorsque $p$ est un point de $C$, on trouve facilement ce que doit être $p^*$ [9]. Lorsque $p$ est à l’intérieur de $C$... c’est un peu plus compliqué et comme le disent parfois les mathématiciens quand ils veulent gagner de la place et ne pas trop se fatiguer : « nous laissons ce cas en exercice au lecteur » !

$\Large{L}$a dualité projective appliquée à la nomographie

Nous allons utiliser la dualité projective décrite dans l’interlude précédent pour expliquer comment on peut donner une forme nouvelle et très simple d’utilisation aux nomogrammes à droites concourantes.

Soit $C$ un cercle dans le plan, fixé une bonne fois pour toutes.
Si $S=[ab]$ désigne un segment de droite, on peut lui associer un point $S^*$ dans le plan : $S^*$ n’est rien d’autre que le point associé à la droite support $(ab)$ de $S$ via la corrélation polaire par rapport à $C$.

Supposons maintenant que l’on se soit donné une famille continue $\mathcal F=\{ S_t \, | \, t\in T\}$ de segments de droites, paramétrée par un intervalle $T\subset \mathbb R$. « Par dualité », on peut donc associer à cette donnée une famille de point $S_t^*$ telle que l’application $t\mapsto S_t^*$ soit continue. L’ensemble de ces points forme une courbe $\mathcal C_{\mathcal F}$. Imaginons de plus qu’une cote $q_t$ ait été attribuée à chacun des segments $S_t$. Alors on peut attribuer les mêmes cotes $q_t$ aux points $S_t^*$ correspondants. La courbe $ \mathcal C_{\mathcal F}$ ainsi obtenue est une courbe non plus cotée, mais “multi-cotée” : une cote est associée à chacun de ses points, contrairement à une isoplèthe d’un abaque à laquelle ne correspond qu’une seule cote. Bien sûr, le procédé est réversible : en utilisant la corrélation par rapport à $C$, on peut reconstruire la famille des segments cotés $\mathcal F$ à partir de la courbe $ \mathcal C_{\mathcal F}$ [10]. La figure ci-dessous illustre ce dont nous venons de parler.

Étant donné maintenant un nomogramme à droites concourantes $\mathcal N$, on peut appliquer la corrélation précédente à chacune des trois familles $\mathcal F_1, \mathcal F_2$ et $\mathcal F_3$ de courbes cotées qui forment $\mathcal N$. Le résultat est simplement trois courbes $\mathcal C_1,\mathcal C_2$ et $\mathcal C_3$ dans le plan, avec des cotes marquées le long de chacune. Le graphique formé par ces trois courbes est le « nomogramme à points alignés » associé à $\mathcal N$ [11] ; on le notera $\mathcal N^*$.

Le lecteur ne peut manquer de voir tout de suite l’avantage de ce procédé : à l’origine on avait un abaque $\mathcal N$ composé de trois familles de lignes cotées, ce qui faisait au final beaucoup de courbes. Au moyen de la dualité projective, on se ramène au nomogramme $\mathcal N^*$ formé de seulement trois courbes ! Il faut noter que les isoplèthes de $\mathcal N$ et les courbes
$\mathcal C_1,\mathcal C_2$ et $\mathcal C_3$ de $\mathcal N^*$ sont vraiment de nature différente [12].
En fait, non seulement
$\mathcal N^*$ est graphiquement plus simple que l’abaque $\mathcal N$ de départ, mais son utilisation en nomographie l’est également. En effet, comme la dualité projective conserve la relation d’incidence entre les points et les droites, et puisque les points cotés des courbes $\mathcal C_i$ correspondent aux isoplèthes rectilignes de l’abaque $\mathcal N$, on peut trouver sans trop de difficultés la manière dont $\mathcal N^*$ s’utilise (cf. la figure ci-dessous) : si l’on veut connaître la valeur de la variable correspondant à la couleur rouge sur le nomogramme à points alignés $\mathcal N^*$ ci-dessus, à partir des « valeurs »
$E$ et
$\mathcal R$
des deux autres variables (associées aux couleurs bleue et verte respectivement), il suffit de tracer la droite passant par les points cotés $E^*$ sur la courbe bleue $\mathcal C_2$ et $\mathcal R^*$ sur la courbe verte $\mathcal C_3$. Cette droite intersecte la courbe rouge $\mathcal C_1$ en le point dont la cote est $V^*$ : la cote cherchée est donc $V$ .

C’est Maurice d’Ocagne en 1884 (dans [D’Ocagne 1]) qui, le premier, a pensé à utiliser la dualité projective pour simplifier au maximum les nomogrammes à droites concourantes. Cette approche eut beaucoup de succès et donna lieu à un nombre important de publications sur le sujet.
S’il y eut beaucoup de recherches théoriques sur les abaques à droites concourantes, il y eut aussi de nombreuses publications sur les aspects pratiques de ces nomogrammes, puisqu’il s’est avéré qu’un grand nombre de lois considérées dans la pratique pouvaient être représentées au moyen de nomogrammes à points alignés.

$\Large{Q}\!$uelques nomogrammes à points alignés

Sans autre raison que parce que nous trouvons ces figures belles,
nous reproduisons ci-dessous quelques nomogrammes à points alignés anciens. Le lecteur voulant en voir davantage peut par exemple consulter le livre [Soreau] qui en regorge.

Nomogrammes des trinômes du second et du troisième degré.
L’exemple suivant a déjà été présenté dans la Note I. Nous le présentons à nouveau ici pour rafraichir la mémoire du lecteur mais aussi parce que c’est l’exemple concret par lequel d’Ocagne a fait connaître la méthode des abaques à points alignés [13].
Quel que soit l’entier strictement positif $m$, l’abaque $\mathcal N_m$ associé à la loi
\[ z^m+pz+q=0 \] est à droites concourantes si l’on prend $p$ et $q$ comme coordonnées cartésiennes. On peut donc construire une version duale à points alignés du nomogramme $\mathcal N_m$. Pour gagner de la place, on peut même représenter sur un même graphique les nomogrammes duaux $\mathcal N_2^*$ et $ \mathcal N_3^*$ (par exemple), comme ci-dessous.

Dans chacun des cas $m=2$ ou $m=3$, les courbes de $\mathcal N_m^*$ sont deux (segments de) droites et (un morceau d’)une courbe algébrique de degré $m$.

Nomogramme de la distribution des vitesses dans les canaux.
La loi ci-dessous rend compte de la « distribution des vitesses dans les canaux ». Elle a été donné par l’ingénieur bourguignon Hervé Bazin et concerne des questions d’hydraulique.
\[\begin{equation} \label{E:canal} \frac{V}{v}=1+20 \beta \frac{ \frac{1}{3}-\alpha+\alpha^2}{(1-\alpha)^2}. \end{equation}\]
Toutes les courbes apparaissant
dans l’abaque à points alignés associé à cette loi sont rectilignes.

Un nomogramme utilisé sur les champs de batailles.
L’équation
\[\begin{equation} \label{ricci} \rho^2=(\rho+a)^2+1-2\,(\rho+a)\, \cos \omega \end{equation}\]
relie certaines variables d’un triangle plan et a été considérée par un capitaine d’artillerie italien nommé Ricci. Elle est introduite de la façon suivante dans [Soreau] :

Soit une batterie $A$ tirant sur un but $B$, visible de $A$, dont la distance $CB$ est observée par un télémétreur placé en un point $C$ défini par l’angle $\omega$ et la longueur $AC$. Prenons cette longueur pour unité et posons $CB=\rho$, $AB=\rho+a$. Il s’agit de déterminer la correction $a$ à apporter à $\rho$ pour avoir la distance $AB$.

Le loi $\ref{ricci}$ peut être représentée au moyen de l’abaque suivant :

Au prime abord, on peut distinguer seulement deux courbes cotées
sur ce graphique et celui-ci ne semble donc pas être véritablement un abaque à points alignés. En fait, il se trouve que deux des trois courbes cotées du nomogramme à points alignés associé à la relation $\ref{ricci}$ sont des morceaux d’une seule et même courbe. En regardant de près, on se rend compte, en effet, que le cercle de la figure ci-dessus porte deux systèmes de cotes distincts : l’un sur sa partie supérieure et qui correspond à la distance $\rho$, l’autre sur la partie inférieure et qui correspond à l’angle $\omega$.

Un nomogramme qui serpente.
L’abaque à points alignés ci-dessus est formé de deux courbes dont l’une porte deux systèmes de cotes différents. Dans certains cas très particulier, il est même possible de construire des abaques à points alignés qui ne sont constitués que d’une seule courbe. Par exemple, la relation algébrique
\[\gamma=\frac{\alpha+\beta}{1-\alpha \beta}\]
entre $\alpha=\tan a$, $\beta=\tan b$ et $\gamma=\tan a+b$ est susceptible d’être représentée par un tel nomogramme.

Sur l’abaque ci-dessus, la simplification apportée par le point de vue dual permis par la dualité projective est flagrante : un abaque standard formé de trois familles de courbes est remplacé par une unique courbe portant trois système de cotes.

Il se trouve que la dualité projective s’applique en fait aux nomogrammes en trois variables les plus généraux. Le lecteur intéressé par cette généralisation (un peu plus sophistiquée que le reste) peut cliquer ci-dessous.

Nomographie des équations de plus de trois variables

Si un nombre important d’équations de la physique ou des sciences de l’ingénieur mettent en relations deux ou trois variables, c’est loin d’être le cas en général et l’on peut se demander (comme l’ont fait les « nomographistes » d’il y a cent ans) si les idées mises en œuvre en nomographie ne permettent pas de représenter graphiquement des équations
\[\begin{equation} \label{relN} F(x_1,\ldots,x_n)=0 \end{equation}\]
comportant un nombre quelconque $n$ de variables.
Ici $x_1,\ldots,x_n$ désignent les variables et $F$ est la relation qui les relie. Le problème considéré est la généralisation directe de celui qui est considéré classiquement dans le cas de trois variables : étant données $n-1$ valeurs numériques $v_{1}, \ldots,v_{n-1}$ des variables $x_{1}, \ldots,x_{n-1}$, on cherche une façon simple et suffisamment précise de déterminer une valeur numérique approchée $v^*_{n}$ du nombre $v_n$ tel que
\[ F(v_1, \ldots,v_{n-1},v_n)=0. \]
De plus, on voudrait si possible pouvoir faire cela indépendamment de l’ordre des variables $x_1,\ldots,x_n$. Si l’on veut un exemple concret, on peut par exemple considérer l’équation complète du troisième degré
\[\begin{equation} \label{Z3} z^3+n\, z^2+p\, z+q=0, \end{equation}\] que l’on voit comme une relation entre les variables $n,p,q$ et $z$.
Bien sûr, la forme spécifique de cette relation fait que c’est la détermination des valeurs de $z$ en fonction de celles de $n,p$ et $q$ qui n’est pas évidente dans ce cas.

$\Large{T}\!\!$héoriquement, c’est à peu près pareil qu’en trois variables...

Sur le plan théorique, on peut mimer sans problème l’interprétation mathématique donnée dans notre Note I pour les équations en trois variables. Par exemple, quand $n=4$, dans l’espace euclidien à quatre dimensions, on peut considérer l’hypersurface $H\subset \mathbb R^4$ d’équation $F(x_1,\ldots,x_4)=0$. Elle est de dimension 3 (car définie par
une seule équation en quatre variables), ce qui signifie que localement $H$ est la même chose que
le parallèlépipède sans bord $B=]0,1[^3$ de l’espace euclidien standard à trois dimensions : en mathématiques, on dit qu’il existe un « difféomorphisme local » $\varphi: B\rightarrow H$.
Comme dans le cas de trois variables, on peut considérer quatre familles de surfaces (quatre feuilletages par des surfaces) sur $H$ : les intersections de $H$ avec les hyperplans de dimension 3 d’équation $x_i=c_i$, où $c_i$ désigne une constante variant dans un intervalle $I_i\subset \mathbb R$ (tout cela dépendant de l’indice $i=1,2,3,4$). On rapatrie alors ces quatre familles de surfaces sur $B$ via $\varphi$ : si $c\in I_i$, alors $S_i(c)=\varphi^{-1}(H\cap \{ x_i=c \})$ est une surface dans $B$ dont on convient de dire que la cote est $c$. Pour chaque $i=1,\ldots,4$, on a donc une famille
$\mathcal F_i=\{ S_i(c) \, \vert \, c\in I_i \}$ de « surfaces cotées » dans $B$.
Étant donné $v_j\in I_j$ pour $j=2,3,4$, en vue de déterminer $v_1\in I_1$ tel que $F(v_1,\ldots,v_4)=0$, on considère les trois surfaces cotées $S_2(v_2),S_3(v_3)$ et $S_4(v_4)$ dans $B$ : elles s’intersectent en un point $p$. Alors $v_1$ est l’élément de l’intervalle $I_1$ tel que la surface $S_1( v_1)$ passe par $p$.

Le raisonnement abstrait ci-dessus montre que sur le plan théorique, on devrait pouvoir généraliser les nomogrammes à n’importe quel nombre de variable...

... mais ça l’est pas vraiment dans la pratique !

Tout d’abord, dans le cas de quatre variables, on ne voit pas comment le point de vue théorique présenté ci-dessus peut être utilisé dans la pratique. Pour rendre concret un tel abaque de dimension 3, il faudrait par exemple disposer d’un volume feuilleté par des surfaces (des feuilles) de quatre façons différentes, tel que l’on puisse trouver et marquer le point d’intersection de trois feuilles de trois familles différentes, etc. On ne voit pas bien comment rendre réel un tel nomogramme multidimensionnel !

C’est du moins l’opinion de d’Ocagne qui évoque
la possibilité de réaliser concrètement un nomogramme en quatre variables au moyen de feuillets en ces termes dans
[d’Ocagne] :

« ... la seule ressource pour représenter une équation à quatre variables est de recourir à une collection de nomogrammes en les trois variables $x_1,x_2,x_3$, distingués chacun par une valeur de $x_4$, et constituant une sorte d’atlas dont les feuillets seraient numérotés au moyen des valeurs successives de $x_4$.
Inutile d’insister sur le peu de commodité pratique d’une telle solution rendant pénible la détermination de $x_4$ prise pour inconnue (par la recherche du feuillet sur lequel les lignes correspondant aux valeurs données de $x_1,x_2$ et $x_3$
concourent en un même point), et ne pouvant absolument pas se prêter aux interpolations à vue entre les valeurs successives de $x_4$. »

Il y eut quand même des tentatives de construction de nomogrammes multi-dimensionnels, ou plutôt, d’objets équivalents.

Le mathématicien allemand Rudolf Mehmke est considéré comme l’une des grandes figures des mathématiques appliquées du début du vingtième
siècle. Il s’est beaucoup occupé de géométrie descriptive, de méthodes graphiques et d’instruments mathématiques et a contribué de façon notable à la nomographie. Il a ainsi construit un appareil servant à la résolution de l’équation complète du troisième degré $\ref{Z3}$ selon le principe de la nomographie, dont on reproduit ci-dessous un dessin (tiré du traité de
[d’Ocagne]).

Si l’on veut bien croire que cet appareil fonctionne et qu’il est utilisable dans la pratique pour extraire numériquement des racines de l’équation $\ref{Z3}$ lorsque $n,p$ et $q$ sont fixés, on ne voit pas comment ce prototype aurait pu devenir un outil véritablement utilisable par les ingénieurs. Rappelons que c’est leur facilité d’utilisation et de production qui faisait des abaques des outils intéressants. Simplicité d’utilisation, coût de production très faible : deux qualités que n’avait manifestement pas la machine construite par Mehmke !

Une autre approche pour utiliser pratiquement des nomogrammes 3-dimensionnels associés à des relations $F(x_1,\ldots,x_4)=0$ en quatre variables fut imaginée par un ingénieur dénommé Josef Sutor [15].
Sa méthode, assez originale, consistait en l’utilisation d’anaglyphes pour voir en trois dimensions un nomogramme dessiné en deux dimensions, au moyen d’une paire de lunettes dont un verre était bleu et l’autre rouge.

Dans [Haasbroek], l’auteur introduit l’approche de Sutor à peu près en ces termes :

Quand on s’est occupé à construire des nomogrammes de façon intensive,
on se met à souhaiter pouvoir étendre l’arsenal des méthodes nomographiques et à rendre possible la construction de nomogrammes spatiaux.
[...]

Comme il est impossible de donner un modèle spatial à un grand nombre d’utilisateurs, Sutor projette un tel modèle de deux centres de projection sur un plan, dans les couleurs complémentaires rouge et bleue. Quand cette image, un « nomogramme stéréo », est vue par des lunettes « rouge-bleue », l’œil gauche, armé avec le verre rouge, voit seulement l’image droite (bleue). L’œil droit, avec le verre bleu, voit seulement l’image gauche (rouge). Les deux images donnent ensemble une représentation spatiale du modèle dont on est parti [...].

Haasbroek indique ensuite que sa première tentative pour réaliser et utiliser pratiquement un tel « nomogramme stéréo » ne fut pas vraiment couronnée de succès... Il déclare cependant que quelques années plus tard, il a pu
vraiment utiliser un tel abaque spatial pour faire des calculs approchés et semble dire que les résultats obtenus étaient plutôt satisfaisants.

Nous reproduisons ci-dessous un nomogramme stéréo tiré de [Haasbroek] qui est associé à la relation
$abcd+3(a+b+c+d)-40=0$ entre les variables $a,b,c,d$. Bien sûr, pour en profiter pleinement, il faut le regarder avec les fameuses lunettes anaglyphiques bicolores !

À la fin de son article, Haasbroek nous apprend que, pour des raisons didactiques,
fut construit un véritable nomogramme spatial associé à la relation
$abcd+3(a+b+c+d)-40=0$. Voici une « photographie stéréo » de cet objet original et quelque peu improbable :

$\Large{N}\!\!$omographie plane en plusieurs variables : un premier cas particulier

Il est naturel de penser qu’il n’est pas possible dans la pratique de « nomographier » de façon raisonnable une relation générale $\ref{relN}$ en plus de trois variables en restant dans le plan. Il faut bien faire attention à ce qu’une telle assertion concerne les relations les plus générales. En fait, cette assertion va se révéler fausse dans beaucoup de cas particuliers [16] et c’est ce qui a permis de nombreux développements importants en nomographie. Nous allons maintenant en présenter certains en guise d’exemples, sans chercher à être exhaustif.

Le premier cas particulier que nous allons considérer est celui des relations
$\ref{relN}$ en quatre variables qui peuvent s’écrire sous la forme
\[\begin{equation} \label{equation_1234} A(x_1,x_2)-B(x_3,x_4)=0. \end{equation}\]
Une telle relation est nomographiable dans le plan. Pour voir comment, on introduit une variable auxiliaire muette $y$ et on écrit $\ref{equation_1234}$ sous la forme équivalente suivante
\[\begin{equation}\label{12-34} A(x_1,x_2)=y \qquad \mbox{et} \qquad B(x_3,x_4)=y. \end{equation}\]
L’intérêt de scinder la relation $\ref{equation_1234}$ en deux morceaux (en l’occurrence $ A(x_1,x_2)=y $ et $ B(x_3,x_4)=y$) est que chacun d’eux est une relation impliquant seulement trois variables et donc est nomographiable dans le plan
via la méthode standard décrite dans la Note I. On commence par tracer les deux abaques associés aux relations $\ref{12-34}$. Comme la variable $y$ apparaît dans ces deux relations,
elle va jouer un rôle spécial de “pivot”. On va donc prendre le même système de cotes pour les isoplèthes $y=cste.$ dans ces deux cas :

En se souvenant que l’on est en fait intéressé par la relation $\ref{equation_1234}$ dans laquelle la variable $y$ n’apparaît pas, on peut oublier le système de cotes des isoplèthes $y=cste.$ et “accoler” les deux abaques de la figure ci-dessus en une seule puisque les cotes associées à la variable $y$ se correspondent :

Le graphique ci-dessus est appelé un « abaque à entrecroisements composés » et permet de résoudre nomographiquement la relation $\ref{equation_1234}$. En effet, étant donné $v_1,v_2$ et $v_4$, des valeurs numériques des variables $x_1,x_2$ et $x_4$, on considère les isoplèthes associées, que l’on représente respectivement en rouge, en bleu et en vert dans la figure ci-dessous :

On détermine alors graphiquement le point d’intersection des isoplèthes rouge et bleue. Lui correspond une ligne d’équation $y=cste.$ (en magenta) qui intersecte l’isoplèthe verte correspondant à la valeur $v_4$ de la variable $x_4$ en un point par lequel passe une isoplèthe correspondant à une certaine valeur $v_3$ de la variable $x_3$ (en marron) : on a $A(v_1,v_2)- B(v_3,v_4)=0$ et donc
$v_3$ est la valeur cherchée !

Il faut noter que dans l’abaque à entrecroisements composés considéré ci-dessus, toutes les courbes ne sont pas vraiment de la même nature. En effet, la variable $y$ étant auxiliaire, les valeurs numériques qu’elle peut prendre sont a priori sans intérêt. Aussi n’est-il pas nécessaire que les courbes $y=cste.$ de l’abaque considéré soient cotées : ce ne sont pas des isoplèthes. L’on voit ainsi apparaître des nomogrammes comportant des familles de courbes non cotées qui vont jouer le rôle de “pivots”.

Des abaques à entrecroisements furent utilisés dans la pratique. Comme leur utilisation était un peu plus compliquée que celle des abaques usuels, ils étaient très souvent accompagnés d’un mode d’emploi, comme par exemple l’abaque suivant :

$\Large{F}\!\!$onctions nomographiables

Nous voulons expliquer maintenant le concept mathématique, dégagé par Hilbert semble-t-il, qui permet de parler de façon rigoureuse d’équations susceptibles d’être résolues au moyen de nomogrammes plans.

Plus précisément, le nombre de variables libres $n$ étant fixé, on veut définir les fonctions $F(x_1,\ldots,x_n)$ telles que étant données $n-1$ valeurs $v_{i_2},\ldots,v_{i_n}$ des $n-1$ variables $x_{i_2},\ldots,x_{i_n}$, l’équation
\[ F(v_1,\ldots,v_n)=0 \]
soit graphiquement (approximativement) résoluble au moyen d’un enchevêtrement de nomogrammes en trois variables dans un même plan fixé (on exclut l’utilisation de plans superposés pour le moment). Quand une telle résolution est possible, on dira que la fonction $F$ est « nomographiable ». C’est pour le moment une définition intuitive que l’on va maintenant essayer de rendre mathématiquement rigoureuse.

On peut s’inspirer du paragraphe précédent pour se rendre compte que la classe des équations en quatre variables $F(x_1,\ldots,x_4)=0$ qui sont monographiables contient, par exemple, celles qui peuvent se mettre sous la forme
\[\begin{equation} \label{Fnomog} F(x_1,x_2,x_3,x_4)=G\big( A(x_1,x_2), B(x_3,x_4) \big)=0 \end{equation}\]
pour certaines fonctions $A,B$ et $G$ dépendant de seulement deux variables.

De même, les équations s’écrivant
\[\begin{equation} \label{Fnomog2} F(x_1,x_2,x_3,x_4)=G\Big( A(x_1,x_2), B\big(P(x_2,x_3), Q(x_3,x_4) \big) \Big)=0 , \end{equation}\]
où $A,B,P,Q$ et $G$ sont des fonctions de deux variables,
sont nomographiables, par exemple au moyen d’un nomogramme à entrecroisements de la forme suivante :

C’est un exercice amusant et intéressant que de trouver comment cet abaque s’utilise. Le lecteur curieux mais trop pressé (ou trop paresseux !) pour y réfléchir par lui-même peut cliquer ci-dessous.

En fait, l’ordre dans lequel apparaissent les variables $x_1,\ldots,x_4$ dans
$\ref{Fnomog}$ ou $\ref{Fnomog2}$ ne revêt pas une importance
essentielle
du point de vue de la nomographie. De même, le fait que soient utilisées seulement trois ou cinq fonctions de deux variables pour exprimer $F$ n’a pas d’importance vu le problème considéré. Il en va de même, enfin, pour le nombre des variables : la restriction à quatre variables ne joue aucun rôle.

Ces remarques conduisent assez naturellement à introduire la notion mathématique de « fonction en $n$ variables $F(x_1,\ldots,x_n)$ nomographiable d’ordre $m$ ».
Par définition, les fonctions en les $n$ variables $x_1,\ldots,x_n$ nomographiables d’ordre $0$ sont les fonctions constantes et les $n$ projections linéaires $(x_1,\ldots,x_n)\rightarrow x_i$ (pour $i$ entre 1 et $n$). On procède alors par induction, en disant qu’une « fonction nomographiable d’ordre $m+1$ » est une fonction $F(x_1,\ldots,x_n)$ s’écrivant
\[F(x_1,\ldots,x_n)=G\big(A(x_1,\ldots,x_n), B(x_1,\ldots,x_n)\big)) \] où $G$ est une fonction de deux variables seulement et où $A$ et $B$ sont toutes deux des fonctions nomographiables d’ordre $m$. Nous dirons alors que $F(x_1,\ldots,x_n)$ est « nomographiable » si elle est nomographiable d’ordre $m_F$ pour un certain entier $m_F$ (qui dépend de $F$). En termes plus intuitifs, les fonctions nomographiables sont donc celles qui sont construites en composant un nombre arbitraire (mais fini) de fois des fonctions dépendant de seulement deux variables. En particulier, on peut dire qu’une fonction nomographiable $F(x_1,\ldots,x_n)$ est une « fausse » fonction de $n$ variables puisqu’elle s’obtient à partir de fonctions de seulement deux variables.

Les lecteurs un peu mathématiciens vérifieront sans trop de peine que les
équations $F(x_1,\ldots,x_n)=0$ où $F$ est une fonction nomographiable dans le sens mathématique donné ci-dessus sont bien résolubles au moyen d’abaques à entrecroisements. De ce fait, il découle qu’on peut dire sans risquer de contradiction qu’une relation $F(x_1,\ldots,x_n)=0$ est résoluble au moyen d’un abaque à entrecroisements exactement lorsque la fonction $F$ est nomographiable.

La nomographie et le treizième problème de Hilbert

David Hilbert fut l’un des plus grands mathématiciens de son temps. Dans l’exposé qu’il a donné au congrès international des mathématiciens qui s’est déroulé à Paris en 1900, il a formulé plusieurs problèmes qu’il considérait comme importants et intéressants [17]. La stature scientifique de Hilbert et le cadre prestigieux et solennel de son exposé ont suscité un grand intérêt de la communauté mathématique pour les problèmes qu’il a présentés. Un grand nombres de mathématiciens ont alors cherché à les résoudre [18]. Les problèmes de Hilbert touchaient à la plupart des domaines des mathématiques de l’époque et, en particulier, c’est en relation avec des résultats obtenus en nomographie qu’il a formulé celui qui est maintenant connu comme le « treizième problème de Hilbert ».

D’après des résultats classiques bien antérieurs à Hilbert, on savait qu’une équation polynomiale de degré $m$ en une variable
\[\begin{equation} \label{polym} z^m+a_1 z^{m-1}+a_2 z^{m-2}+\cdots+a_{m-1}z+a_m=0 \end{equation}\]
est « résoluble par radicaux » lorsqu’elle est de degré $m\leq 4$. Cela signifie qu’il est possible d’exprimer une racine $z=z(a_1,\ldots,a_m)$ de celle-ci au moyen de l’extraction des racines carrée, cubique et quatrième jointe aux quatre opérations usuelles de l’arithmétique (l’addition, la soustraction, la multiplication et la division), qui, elles-mêmes, ne dépendent chacune que de deux arguments. Cela implique en particulier que les équations polynomiales $\ref{polym}$ sont nomographiables pour $m\leq 4$.

C’est un résultat très célèbre du XIXème siècle que les équations $\ref{polym}$ de degré $m\geq 5$ ne sont pas résolubles par radicaux en général. Une question que se posèrent alors les mathématiciens fut celle de savoir s’il était possible de trouver des fonctions aussi jolies, simples et bien comprises que possible permettant de construire la (ou plutôt une) racine $z=z(a_1,\ldots,a_m)$ de $\ref{polym}$ comme fonction des coefficients
$a_1,\ldots,a_m$. Il est difficile de répondre de façon satisfaisante à cette question puisqu’elle n’est pas bien posée : selon quels critères dira-t-on qu’une fonction est « simple » ou qu’elle est « jolie » ? Et qu’est-ce qu’une fonction « bien comprise » ? Considérant le résultat évoqué plus haut concernant les équations polynomiales de degré $m\leq 4$, on peut poser la question plus précise de savoir si l’extraction de la racine $z=z(a_1,\ldots,a_m)$ de $\ref{polym}$ est nomographiable pour $m\geq 5$.

Cela est vrai dans les cas $m=5$ et $m=6$. Dans le cas $m=6$ par exemple (le cas $m=5$ est encore plus simple), via des manipulations algébriques simples (dites « de Tschirnhausen »), on peut mettre une équation $\ref{polym}$ générale sous la forme réduite suivante
\[\begin{equation} \label{poly6} Z^6+b Z^2+c Z+1=0, \end{equation}\]
où $b$ et $c$ s’expriment algébriquement en fonction des coefficients $a_1,\ldots,a_6$ de l’équation de départ, et où $Z$ est une nouvelle variable, qui s’exprime de façon algébrique en fonction des $a_i$ et de l’inconnue $z$. Vu qu’il y a seulement deux coefficients dans l’équation
ci-dessus, il en découle que l’équation générale $\ref{polym}$ de degré 6 est elle aussi nomographiable.

C’est au sujet de la solution de l’équation $\ref{polym}$ de degré 7 que Hilbert
a formulé le treizième de ses problèmes. Il l’a formulé dans un texte en allemand, dont nous donnons ci-dessous une traduction (que l’on espère pas trop mauvaise...).

XIIIème Problème de Hilbert : Impossibilité de la résolution de l’équation générale du 7ème degré au moyen de fonctions dépendant de seulement deux variables.

La nomographie [1] traite du problème de résoudre les équations au moyen de dessins de familles de courbes dépendant d’un paramètre arbitraire.
On voit immédiatement que toute racine d’une équation dont les coefficients dépendent de seulement deux paramètres, c’est-à-dire toute fonction de deux variables indépendantes, peut être représentée de diverses façons selon le principe à la base de la nomographie. De plus, une large classe de fonctions de trois variables ou plus peut évidemment être représentée par ce seul principe sans utiliser d’éléments variables, à savoir toutes celles qui peuvent être générées en formant d’abord une fonction de deux arguments, puis en remplaçant chacun de ces arguments par une fonction de deux autres variables, ensuite en remplaçant à leur tour chacune de ces variables par une fonction de deux arguments, et ainsi de suite, en regardant comme admissible n’importe quel nombre fini d’insertions de fonctions de deux variables. Ainsi, par exemple, toute fonction rationnelle de n’importe quel nombre de variables appartient à cette classe de fonctions construites au moyen de tables nomographiques, car elle peut être engendrée par les procédés d’addition, soustraction, multiplication et division et chacun de ces procédés produit une fonction de seulement deux arguments.
On voit aisément que les équations qui sont résolubles par radicaux appartiennent à cette classe de fonctions, puisque l’extraction de la racine carrée est adjointe aux quatre opérations arithmétiques et que celle-ci correspond à une fonction dépendant d’un argument seulement. De même, les équations générales du 5ème et du 6ème degré sont résolubles par des tables nomographiques appropriées puisqu’au moyen de transformations de Tschirnhausen, qui demandent seulement de pouvoir extraire les racines carrées, elles peuvent être réduites à une forme où les coefficients dépendent de seulement deux paramètres.

Maintenant, il est probable que la racine de l’équation du septième degré est
une fonction de ses coefficients qui n’appartient pas à la classe des fonctions
susceptibles d’être construites par la nomographie, i.e. qu’elle ne puisse pas être construite par un nombre fini de superpositions de fonctions de deux variables.
La preuve pour le démontrer passerait nécessairement par le fait que l’équation du septième degré $f^7 + a f^3 + bf^2 + cf + 1 = 0$ n’est pas résoluble au moyen de n’importe quelles fonctions continues de deux arguments seulement. Qu’on me permette d’ajouter que je me suis assuré, par un processus rigoureux, qu’il existe des fonctions analytiques de trois arguments $x, y, z$ qui ne peuvent pas être obtenues par une chaîne finie de fonctions de seulement deux arguments.

En utilisant des éléments auxiliaires mouvants, la nomographie a réussi à construire des fonctions de plus de deux arguments, comme M. d’Ocagne [2]
l’a prouvé récemment dans le cas de l’équation du 7ème degré.

Le problème posé ici par Hilbert est donc celui de savoir si la fonction analytique (multiforme) $f=f(a,b,c)$ solution de l’équation réduite du 7ème degré
\[\begin{equation} \label{poly7} f^7 + a\, f^3 + b\, f^2 + c\, f + 1 = 0\end{equation}\]
est nomographiable, i.e. peut s’écrire comme une superposition finie de fonctions de deux variables. A priori, ce n’est pas clair...

Ce problème a donné lieu à un grand nombre de recherches, dans différents domaines [19]. On considère
que ce problème a été résolu par la négative en 1957 par les mathématiciens russes Vladimir Arnold et Andreï Kolmogorov.
Utilisant des idées de Kolomogorov, Arnold prouva que toute fonction continue $F(x,y,z)$ de trois variables peut s’écrire sous la forme
\[ F(x,y,z)=\sum_{i=1}^9 F_j\big(\varphi_j(x,y),z\big) \]
où les $F_j$ et les $\varphi_i$ sont des fonctions continues.
En particulier, cela implique que la fonction $f(a,b,c)$ solution de
$\ref{poly7}$
est nomographiable, contrairement à ce que semblait penser Hilbert.
Très peu de temps après, Kolmogorov enfonça le clou pour de bon en montrant que pour tout $n>2$, il existe des fonctions continues monotones $\varphi_{pq}: [0,1]\rightarrow \mathbb R$ fixées telles que toute fonction continue $F: [0,1]^n\rightarrow \mathbb R$ s’écrive
\[\begin{equation} \label{f-superposition} F(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{p=1}^{2n+1}\sum_{q=1}^n F_p\big(\varphi_{pq}(x_q)\big) \end{equation}\]
pour certaines fonctions continues d’une variable $F_p$ (qui dépendent de $F$). En particulier, ce résultat montre que toute fonction continue en $n$ variables est nomographiable au moyen de l’addition et de fonctions continues en une variable.
Les résultats de Arnold et Kolmogorov répondent de façon nette et frappante à la question posée par Hilbert. Ils surprirent beaucoup en leur temps puisqu’ils permettaient de dire que d’un certain point de vue, à l’exception de l’addition, il n’existe pas de « vraies » fonctions de plusieurs variables mais seulement des combinaisons de fonctions d’une variable.

En fait, il semble que l’opinion actuelle quant au treizième problème de Hilbert ait un peu évolué. Il est bien sûr reconnu de nos jours que les travaux de Arnold et Kolmogorov apportent une réponse à la question posée par Hilbert, mais peut-être pas selon son acception la plus pertinente. En effet, si leurs résultats indiquent que toute fonction continue $F(x_1,\ldots,x_n)$ est nomographiable, ils ne disent rien sur la nature des fonctions $F_p$ qui apparaissent dans une représentation $\ref{f-superposition}$ : bien que continues, les fonctions $F_p$ peuvent être (et en général sont) bien moins régulières que ne l’est la fonction $F$ initiale. Cette remarque conduit à une reformulation plus précise du problème de Hilbert : étant donné un certain type $\mathcal T$ de fonctions (les fonctions continues, par exemple, ou bien les fonctions analytiques), on peut se demander si une fonction en $n$ variables est nomographiable au moyen de fonctions de deux variables appartenant toutes à la classe $\mathcal T$ considérée.
Il ne peut y avoir de solution uniforme à cette « version précisée » du treizième problème de Hilbert. À partir de ce qui a été exposé ci-dessus, on connaît la réponse quand on prend pour $\mathcal T$ la classe des fonctions continues. D’après Hilbert, la réponse est opposée si l’on se place dans la classe des fonctions analytiques, puisqu’il écrit « ... je me suis assuré, par un processus rigoureux, qu’il existe des fonctions analytiques de trois arguments $x, y, z$ qui ne peuvent pas être obtenues par une chaîne finie de fonctions de seulement deux arguments ».

L’équation $\ref{poly7}$ explicitement considérée par Hilbert dans la formulation de son treizième problème étant une fonction algébrique [20], il est naturel de s’intéresser à la nomographiabilité des fonctions algébriques de plusieurs variables au moyen de fonctions algébriques en une ou deux variables.
Dans ce qui semble être son dernier article de recherche, Hilbert lui-même a abordé cette version algébrique du problème plus général qu’il avait énoncé : il
y démontre que la solution de l’équation générale du neuvième degré peut être nomographiée au moyen de fonctions algébriques dépendant de seulement quatre variables.

S’il existe d’autres résultats sur la version algébrique du treizième problème de Hilbert, aucun ne s’applique à la solution $f=f(a,b,c)$ de l’équation algébrique du septième degré $\ref{poly7}$. À l’heure actuelle, on ne sait toujours pas si cette fonction est nomographiable au moyen de fonctions algébriques de deux variables. En fait, on ne sait vraiment rien : certains auteurs
avancent même qu’on ne peut écarter la possibilité que les résultats de Arnold et Kolmogorov admettent des versions pour les fonctions algébriques !
Bref, ce problème inspiré par la nomographie est loin d’avoir cessé de susciter des recherches en mathématiques... Telle est en tout cas l’opinion de Anatoli Vitushkin, un spécialiste du sujet, qui dans [Vitushkin] termine un paragraphe sur le treizième problème de Hilbert par ces mots :

« Thus, the problem remains open and,
by the highest standards, the range of issues is in fact as broad as it was at the
beginning of the 20th century. »
 [21]

Abaques à plans superposés et nomographie théorique

Lorsqu’il écrit “En utilisant des éléments auxiliaires mouvants, la nomographie a réussi à construire des fonctions de plus de deux arguments” à la fin de l’énoncé de son treizième problème, Hilbert fait référence à une généralisation des nomogrammes classiques qui a été introduite par d’Ocagne.

Les abaques à points alignés s’utilisent au moyen d’une règle, ou mieux encore, au moyen d’un calque sur lequel est tracé un trait rectiligne. À ce sujet, d’Ocagne écrit :

« La considération de la droite mobile, servant à prendre les alignements, et qui peut être supposée tirée sur un plan transparent, conduit tout naturellement à l’idée de tracer sur ce transparent, ou même sur plusieurs transparents superposés, des lignes moins simples, voire des systèmes d’éléments cotés pouvant donner lieu à des relations de position plus compliquées entre éléments cotés de plus en plus nombreux. » ([d’Ocagne 4], p. XXV).

Les « nomogrammes » que d’Ocagne introduit ici sont bien plus généraux que les nomogrammes classiques et même que les abaques à entrecroisements présentés plus haut. Il est difficile de définir un « nomogramme à plans superposés » de façon rigoureuse, mais il nous semble que la description donnée par d’Ocagne ci-dessus est assez parlante : il s’agissait de prendre une feuille de papier (à laquelle correspond abstraitement un plan fixe $P_0$) et, par dessus, plusieurs calques transparents mobiles (auxquels correspondent des plans $P_1,P_2,\ldots$ qui sont dits « superposés » et qui bougent par rapport à $P_0$). De plus, sur les plans $P_0,P_1,\ldots$ étaient représentées diverses figures, comme des systèmes de courbes (peut-être cotées), une ou plusieurs courbes portant (ou non) des systèmes de cotes, ou encore des points, etc...
Le but était toujours le même, à savoir la résolution numérique (approchée) d’une équation $F(x_1,\ldots,x_n)=0$ en un nombre quelconque de variables, quand $n-1$ valeurs de $n-1$ variables sont données.
Si la méthode pour les utiliser reprenait les même principes que dans les cas des abaques « à un seul plan » (déplacements le long d’isoplèthes, intersections, contacts tangentiels), il y avait aussi beaucoup de nouvelles opérations rendues possibles par la
superposition des plans :
par exemple, faire coulisser un point d’un plan $P_i$ le long d’une courbe d’un autre plan $P_j$, faire tourner $P_i$ autour d’un point dans un autre plan, ou bien encore rendre confondues deux droites situées dans deux plans différents, ou plus généralement rendre tangentes deux courbes de deux plans $P_i$ et $P_j$ en un point d’un troisième plan $P_k$, etc...

On sent bien que les possibilités offertes par l’utilisation de tels nomogrammes sont sans commune mesure avec celles que permet utilisation des abaques à un seul plan. Et dans les quelques textes où il est question de ce sujet, on voit des descriptions précises de nomogrammes à plans superposés qui permettent de résoudre nomographiquement des équations relativement compliquées. Par exemple, dans [d’Ocagne 3], d’Ocagne explique comment nomographier l’équation du septième degré $\ref{poly7}$ au moyen d’un abaque avec un plan mobile. Dans sa thèse [Margoulis], l’ingénieur-mathématicien Wladimir Margoulis reprend et développe l’étude des abaques à plans superposés. Il décrit les grandes lignes de la théorie et aussi explique concrètement comment nomographier avec des plans superposés un très grand nombre d’équations explicites.
Il considère aussi beaucoup de types d’abaques introduits auparavant et montre que ceux-ci peuvent tous être vus comme des cas particuliers d’abaques à plans mobiles. Dans la seconde partie de sa thèse, il applique la théorie qui vient d’être développée à « l’art de l’ingénieur », en particulier à l’aéronautique. Il présente un grand nombre d’abaques à transparents qu’il a été amené à construire et à utiliser dans la pratique. Ces abaques, qui sont tracés et donnés avec un transparent détachable, sont vraiment sophistiqués et semblent difficiles à lire. Cependant, Margoulis indique les avoir vraiment utilisés pour des problèmes concrets, comme par exemple la construction d’avions ou d’hélicoptères.

En guise d’illustration, nous reproduisons ci-dessous l’“Abaque général pour l’établissement d’un projet d’avion ou d’hélicoptère” donné par Margoulis dans [Margoulis]. Celui-ci commence par le décrire en ces termes :

Dans cet abaque, j’ai réuni les équations représentées par les abaques décrits aux §§ 3 et 5, ainsi que l’équation
\[ \frac{1}{S}=\frac{q_u}{Q/S}=1-\frac{m+n\, c}{Q/P_m}-f(S), \]
où \[ \frac{q_p}{Q}=f(S), \]
et dans laquelle $q_u$ est le poids utile, $m$ — le groupe par cheval du groupe motopropulseur, $n$ — le nombre d’heures d’essence, $c$ — la consommation spécifique et $q_p$ — le poids de planeur. Rappelons que $Q/S$ est la charge par $m^2$ et $Q/P_m$ la charge par cheval.
Toutes les équations ont deux variables communes : $Q/S$ et $Q/P_m$ ; on superpose ces deux systèmes, ce qui permet de résoudre par une seule opération l’ensemble des équations.

Le mode d’emploi est le suivant : on fait coïncider le point $O$ du transparent (fig. 98’) avec le point $(Q/S,Q/P_m)$ du fond (fig. 98). On lit alors à l’intersection de la courbe $(R'_x/S)$ (I) avec la polaire, la valeur de la vitesse $V$ en palier au sol, et au moyen de l’échelle auxiliaire des altitudes — la hauteur $(H)$ du plafond. A cet effet, on porte sur cette échelle le segment égal à la longueur dont il faudrait glisser le transparent parallèlement à l’échelle $(K_y)$ pour que la courbe $(R_x'/S)$ vienne tangenter la polaire.
On lit les temps de montée aux altitudes $(h)$ à l’intersection de la droite $(H)$ avec les faisceaux $(t)$ et $(h)$.
On lit la valeur du poids utile sur le faisceau $(q_u)$ du transparent au point $(m+n\,c,S)$ du réseau du fond.

Nous avons relié ainsi pour la première fois par un abaque toutes les performances d’un avion, c’est-à-dire non seulement les vitesses horizontales et ascensionnelles, mais également les poids constitutifs et notamment le poids utile.
Nous avons admis pour $f(S)$ une certaine expression résultant de statistiques anglaises, mais nous fournissons aux constructeurs un fond disposé de façon à ce qu’ils puissent tracer rapidement eux-mêmes, d’après leur expérience et pour le type d’avion qui les intéresse, le réseau $(m+n\,c,S)$.

La clarté de ce texte aura certainement frappé l’esprit de la plupart des lecteurs...
Sans doute était-il destiné uniquement à des initiés. Nous reproduisons ci-dessous l’abaque à transparent qu’accompagnait ce texte (curieusement, ce que Margoulis désigne comme étant le “fond” est imprimé sur un calque gris tandis que ce qu’il désigne comme le “transparent”, l’est sur une page de papier parfaitement opaque) :

Non seulement les nomogrammes à plans superposés étaient bien plus sophistiqués que les abaques à courbes concourantes classiques, mais ils étaient tous assez différents les uns des autres. En particulier, il était vraiment nécessaire d’indiquer assez précisément comment un tel nomogramme devait s’utiliser, car cela n’avait rien d’évident au prime abord. Pour ce faire, d’Ocagne et ses continuateurs ont introduit des notations schématiques pour indiquer comment les éléments des différents plans d’un tel nomogramme devaient entrer en contact.
Nous croyons que c’est cette schématisation qui a amené d’Ocagne à adopter une approche abstraite et à fonder la « théorie morphologique des nomogrammes », encore appelée
« nomographie théorique ». Il s’agissait d’étudier la structure abstraite des nomogrammes à plans superposés « sans avoir égard à la nature géométrique spéciale des lignes qui y interviennent non plus qu’à la forme des équations correspondantes », comme disait d’Ocagne. Par exemple, celui-ci cherche à déterminer et à classer (en fonction de $k$ et de $n$ et modulo une certaine notion d’équivalence), les types de nomogrammes à $k$ plans superposés qui permettent de résoudre nomographiquement une équation $F(x_1,\ldots,x_n)=0$ en $n$ variables. À l’inverse, étant donné un certain nomogramme à plans superposés $\mathcal N$, il se demande comment reconnaître analytiquement qu’une équation en plusieurs variables est représentable au moyen d’un nomogramme du même type que celui de $\mathcal N$.

La nomographie théorique de d’Ocagne ne semble pas avoir suscité beaucoup d’intérêt dans la communauté mathématique. À notre connaissance, outre quelques notes éparses, il y eut seulement trois thèses publiées sur le sujet, la dernière étant [Boulanger]. C’est dans cette dernière que l’approche abstraite en nomographie fut poussée le plus loin et l’on sent une très nette volonté de formaliser rigoureusement la théorie et de la rendre “moderne”.
Nous reproduisons ci-dessous une double page tirée de la thèse de Boulanger.

Mais que sont donc ces « Formes fondamentales »...?

Notre rapide survol de [Boulanger] nous a laissé un sentiment plutôt étrange : si le formalisme commence à “faire sérieux”, les considérations qui y sont développées nous ont semblé un peu déconnectées des mathématiques que nous connaissons... Mais peut-être y a-t-il là une pépite oubliée, un sujet qui n’attend que d’être repris par un chercheur curieux pour que sa pertinence soit enfin révélée... La théorie morphologique des nomogrammes trouvera-t-elle son champion ?

Conclusion

La nomographie prit sa source dans certains problèmes calculatoires auxquels furent confrontés les ingénieurs et scientifiques et elle resta pour une grande part orientée vers les applications. C’est cet aspect qui semble avoir pris le dessus dans la mémoire collective de la communauté mathématique au sujet de cette discipline. Mais si la théorie des abaques peut sembler maintenant
très naïve, nous avons essayé de montrer dans cette note, à l’inverse, que certains problèmes qu’elle a pu poser ont mené très naturellement à l’introduction de notions abstraites et pertinentes en mathématiques.
Certaines de ces notions mathématiques eurent un certain succès et furent très tôt reconnues comme intéressantes et étudiées pour elles-mêmes. Comme exemple, on peut citer la notion de fonction nomographiable, ou encore la fameuse « géométrie des tissus » sur laquelle nous reviendrons dans la Note IV.

Mais il nous semble qu’un certain nombre de notions et de questions issues des aspects mathématiques de la nomographie ont été plutôt laissées de côté à partir de l’après-guerre [22].

Par exemple, il est assez surprenant que la Conjecture de Gronwall ne soit toujours pas établie. Nous croyons que la raison principale est qu’elle n’a été au fond que peu étudiée. Même si c’est un problème qui a été beaucoup plus regardé, on ne peut que regretter de ne toujours pas savoir si la solution multiforme $z=z(n,p,q)$ de $\ref{Z3}$ est nomographiable au moyen de fonctions algébriques dépendant de seulement deux variables ; pour autant que nous le sachions, cette question n’est guère étudiée à l’heure actuelle. Enfin, que dire de la théorie morphologique des nomogrammes ? S’agit-il de ramifications “abstraites” tardives et sans véritable intérêt d’une discipline qui se voyait en train de disparaître ? Ou est-ce plus intéressant que cela ?

[Boulanger]
G. Boulanger, Contribution à la Théorie générale des abaques à plans superposés. Gauthier-Villars, Paris, 1949.

[d’Ocagne 1]
M. d’Ocagne, Coordonnées parallèles et axiales. Méthode de transformation géométrique et procédé nouveau de calcul graphique déduits de la considération des coordonnées parallèlles. Gauthier-Villars, Paris, 1885.

[d’Ocagne 2]
M. d’Ocagne, Traité de nomographie. Gauthier-Villars, Paris, 1899.

[d’Ocagne 3]
M. d’Ocagne, Sur la résolution nomographique de l’équation du septième
degré. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, 131 (1900), p. 522-524.

[d’Ocagne 4]
M. d’Ocagne, Calcul graphique et nomographie. Doin, Paris, 1924.

[Kahane]
J.-P. Kahane, Le 13ème problème de Hilbert : un carrefour de l’algèbre, de l’analyse et de la géométrie. Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques 3 (1982), p. 1-25.

[Gronwall]
T.-H. Gronwall, Sur les équations entre trois variables représentables par
des nomogrammes à points alignés. J. Math. Pures Appl. 8 (1912), p. 59-107.

[Haasbroek]
N. D. Haasbroek, Stereo Nomograms. Publ. on Geodesy (N.S) 1 (1962).

[Margoulis]
W. Margoulis, Les abaques à transparent orienté ou tournant. Théorie générale de la représentation plane des équations, applications à l’art de l’ingénieur. Thèses de l’Univ. de Paris T. 35, (1931).

[St.-Robert]
P. de Saint-Robert,
De la résolution de certaines équations à trois variables par le moyen d’une règle glissante. Caractère auquel on reconnaît qu’une telle résolution est possible. Graduation à la règle.
Mem. di Torino XXV (1871), p. 53-72.

[Soreau]
R. Soreau, Théorie des abaques I & II, Chiron, Paris, 1921.

[Vitushkin]
A.G. Vitushkin, On Hilbert’s thirteenth problem and related questions. Russian Math. Surveys 59 (2004), p. 11-25.