Apóstrofe a un fanfarrón

’’Nash, si tú eres tan bueno, ¿por qué no resuelves el problema de la inmersión isométrica de variedades riemannianas ? [1]’’ El hombre que se atreve a desafiar así al futuro Premio Nobel de Economía [2] no es otro que su compañero de oficina, Warren Ambrose. Estamos en 1953 en el laboratorio de matemática del MIT, y Ambrose, hastiado por las incesantes fanfarronadas de John Nash —a quien apoda ’’Gnash’’ [3]— está muy decidido a darle una lección de modestia a ese joven e impetuoso matemático. Más allá de los términos técnicos, el problema que él le arroja tiene una reputación como para desanimar a los más temerarios. En efecto, ha resistido los asaltos de los mejores matemáticos desde su formulación, es decir, aproximadamente desde que el genial Riemann —durante su defensa de título en 1854— transformó completamente la geometría, imaginando lo que los especialistas llamaron de ahí en adelante la geometría riemannianna. Sin embargo Nash se queda dubitativo, queriendo convencerse de que este asunto está a la altura de sus ambiciones. Para persuadirse, anuncia que lo resolvió, observa el efecto producido en los matemáticos y se pone a trabajar...

El calabozo-pantalla

Un ejemplo, uno solo, basta para mostrar la increíble dificultad del desafío lanzado por Ambrose a Nash : el del toro cuadrado plano. Cualquiera que esté dedicado a los juegos informáticos se habrá dado cuenta que, en algunos de ellos, los personajes libres en sus movimientos, sin embargo se quedan prisioneros en la pantalla. Si acaban de desaparecer por arriba, reaparecen por abajo. Igual, si salen por la derecha, regresan por la izquierda, etc.

¿Cuál es entonces la forma del extraño calabozo que aprisiona a los personajes informáticos ? Para darse una idea, hay que permitirse deformar la pantalla del computador en la tercera dimensión, de manera de realizar en concreto las suturas necesarias para la continuidad del movimiento. El suelo debe estar unido al techo y el muro de la izquierda debe juntarse con el muro de la derecha. Al costo de una seria distorsión del cuadrado que simboliza la pantalla sobre la ilustración de abajo, la arquitectura global emerge repentinamente : ¡es la de una boya ! Los personajes informáticos, obligados a moverse sobre su superficie, no tienen por lo tanto ninguna escapatoria.

En matemática, la pantalla del computador, cuando aprisiona de ese modo a los personajes, se llama un toro cuadrado plano. La superficie de la boya, que representa este toro cuadrado plano en el espacio tridimensional, toma entonces el nombre científico de toro de revolución. Esta superficie representa el mundo en el cual viven los personajes informáticos. Permite captar inmediatamente la estructura invisible del calabozo-pantalla, pero padece sin embargo de un defecto importante, que lo aleja irremediablemente del mundo plano de la pantalla del computador : deforma las distancias.
Por ejemplo, las horizontales del toro cuadrado plano tienen todas la misma longitud, mientras que sobre el toro de revolución las latitudes correspondientes tienen longitudes distintas. El toro de revolución no da una imagen fiel del toro cuadrado plano. Hay engaño en las distancias.

¿Se puede corregir ese defecto, es decir, encontrar una superficie que represente el toro cuadrado plano sin deformar las longitudes ? Esto parece extremadamente complicado e incluso imposible... Y, sin embargo, esta pregunta es solo una declinación muy especial del desafío lanzado por Ambrose. Sabiendo que el toro cuadrado plano es un ejemplo de lo que los especialistas llaman una variedad riemanniana, y que esos mismos especialistas nombran inmersión isométrica a una representación que respeta las longitudes, una versión en efecto debilitada pero siempre formidablemente difícil de la apuesta de Ambrose podría formularse de la siguiente manera : ’’Nash, si tú eres tan bueno, ¡trata entonces de representar un toro cuadrado plano sin deformar las longitudes !’’.

La hazaña de un genio presumido

Y Nash fue... ’’tan bueno’’. Incluso más, fue ¡extraordinariamente brillante ! Imaginando un enfoque y técnicas totalmente nuevas, no solo va a resolver en muy pocos años el problema de las inmersiones isométricas, sino también a trastornar por completo las certezas que los matemáticos se habían forjado sobre el tema. Esto es lo que decía al respecto en 1994 Mikhail Gromov, él mismo considerado como uno de los más grandes geómetras contemporáneos :

’’Muchos de entre nosotros tienen la capacidad de desarrollar ideas. Seguimos caminos marcados por los demás. Pero casi nadie de nosotros podría producir alguna cosa comparable a lo que Nash produjo [...] Él ha cambiado completamente la perspectiva [...] [4]’’.

Lo que Nash descubre es totalmente asombroso : pese a que la intuición parece dictar lo contrario, las inmersiones isométricas existen de manera pletórica, son increíblemente numerosas. Si nosotros no las vemos, si pasamos por el lado, es sólo porque nuestra intuición es demasiado sensata, demasiado refinada para imaginar su presencia. Es el caso en especial del toro cuadrado plano. Nicolaas Kuiper muestra, de paso por los trabajos de Nash, que ¡efectivamente se puede representarlo de una infinidad de maneras diferentes sin deformar las longitudes ! Pero como se anunció, esas representaciones no son ’’sensatas’’ o ’’refinadas’’, sus propiedades geométricas les impiden desarrollar formas tan suaves y lisas como las de la superficie con forma de boya encontrada más arriba. De hecho, el aspecto mismo de esas representaciones lanzaba un desafío a la imaginación. Los matemáticos mostraban que este aspecto debía ser al mismo tiempo granuloso y liso, un oxímoron diabólico en el cual la mente se perdía sin remedio.

Otra mente brillante

Una manera infalible de comprender el aspecto paradójico de esas representaciones sería simplemente visualizarlas, aunque sea usando un computador en caso de que los cálculos resultaran demasiado complejos o demasiado largos. Desgraciadamente, pese a que Nash y Kuiper revelan en efecto la presencia de un verdadero ejército de inmersiones isométricas, sus demostraciones matemáticas no permiten una cómoda manipulación de esos objetos y, en especial, no se prestan en absoluto para una visualización. Uno se encuentra entonces ante una situación muy frustrante : sabe que hay una infinidad de representaciones que respetan las longitudes del toro cuadrado plano, ¡pero es incapaz de dibujar una sola !

Mikhail Gromov

Una mente brillante [5] va a hacer progresar la situación : Mikhail Gromov. En los años 70-80, este matemático inventa una técnica, la integración convexa, que sistematiza y generaliza de manera vertiginosa el proceso de construcción de inmersiones isométricas. Además de una generalización, esta técnica ofrece también una nueva perspectiva sobre los trabajos de Nash y Kuiper, haciéndolos inmediatamente más inteligibles. Ella muestra en efecto que un motor único hacía girar el conjunto de la maquinaria, produciendo las inmersiones isométricas. Sin embargo la construcción no se volvía más simple, pero de ahí en adelante se podía capturarla globalmente, comprenderla más íntimamente. Una barrera sicológica acababa de romperse : ahora era posible domesticar la intimidante maquinaria de Nash y Kuiper. Paralelamente, parecía que al modificar un poco dicha maquinaria se producirían otras superficies con propiedades sorprendentes, por ejemplo la famosa eversión de la esfera descubierta por Stephen Smale en 1958. En resumen, la técnica de la integración convexa resultaba a la vez iluminadora y unificadora.

¡Ver para creer !

Entre las numerosas ventajas de este método hay una que extrañamente pasó inadvertida : su carácter algorítmico. Sin embargo, esta ventaja abría el camino a la visualización de las inmersiones isométricas, ya que autorizaba la implementación de la integración convexa. Con tres colegas [6], decidimos realizar esta implementación con el fin de obtener las primeras imágenes de una inmersión isométrica del toro cuadrado plano y, por supuesto, comprender la enigmática geometría, a la vez granulosa y lisa.

El programa que realizamos genera una secuencia de inmersiones del toro cuadrado plano acercándose paso a paso a una inmersión isométrica, la cual se obtiene en el límite. Esta secuencia empieza con una inmersión corta, es decir, una inmersión del toro cuadrado plano en el espacio tridimensional que acorta todas las longitudes. Esta inmersión es luego deformada por una serie infinita de ondulaciones. Esas ondulaciones, llamadas corrugaciones, tienen por efecto alargar progresivamente las longitudes en diferentes direcciones, hasta reducir por completo la diferencia con una situación isométrica.

Las corrugaciones se apilan unas sobre otras, con amplitudes cada vez más pequeñas y frecuencias cada vez más elevadas, siendo todo calculado para disminuir sin descanso el defecto isométrico. El proceso continúa así indefinidamente y construye en el límite una inmersión isométrica del toro cuadrado plano. Por supuesto, el programa solo puede efectuar un número finito de tareas. Nosotros lo detuvimos después de cuatro etapas. En efecto, a la quinta ola de corrugaciones, la amplitud de las oscilaciones es tan pequeña que es invisible al ojo humano. En ese sentido, la imagen de abajo —obtenida luego de cuatro etapas— representa efectivamente una inmersión isométrica del toro cuadrado plano. Ella muestra cómo una superficie puede transformarse en granulosa por la acumulación de las corrugaciones y conservar no obstante un aspecto liso, gracias al decrecimiento rápido de las amplitudes de esas mismas corrugaciones.

El aspecto general evoca al de un fractal, es decir, el de un objeto infinitamente fracturado sin importar la escala en la cual se lo observa, excepto en este depósito donde las fracturas son reemplazadas por las corrugaciones. En efecto, donde sea que se posa la vista, la inmersión isométrica aparece infinitamente ondulada, y ninguna grieta o arista es notoria. Nosotros decidimos llamar a tal objeto geométrico, a medio camino entre los fractales y las superficies lisas ordinarias, un fractal C¹. El símbolo C¹ es una notación matemática que indica el grado de lisura de la inmersión isométrica. Informalmente uno está tentado de forjar un nuevo oxímoron, el fractal liso, que ya no tiene nada de diabólico esta vez, debido a que resuelve la aparente contradicción entre lo granuloso y lo liso.

Ya que la inmersión es isométrica, esto significa en particular que las curvas correspondientes a las verticales y las horizontales del toro cuadrado plano tienen todas la misma longitud. La ilustración de abajo muestra la manera en la cual un meridiano y una latitud del toro de revolución han sido ’’corrugadas’’ para llegar a la misma longitud. Como el meridiano es bastante más corto que la latitud, ha soportado corrugaciones de mucha mayor amplitud. Del mismo modo, las circunferencias rojas y azules han sido enviadas sobre las curvas corrugadas de igual longitud.

¿Y después ?

El método utilizado para construir una inmersión isométrica del toro cuadrado plano permite producir muchas otras. Para esto basta con deformar el toro de revolución del inicio y luego aplicarle el proceso infinito de corrugaciones. El proceso de integración convexa proporciona ahora una nueva inmersión isométrica del toro cuadrado plano cuyo aspecto general recuerda (un poco) al toro inicial. En realidad, el método de construcción utilizado ofrece una gran flexibilidad y nosotros soñamos, en un futuro próximo, poder aplicarlo para visualizar otras superficies paradójicas, por ejemplo, para representar lo que a veces se llama las esferas de Nash-Kuiper. Se trata de superficies obtenidas deformando una esfera de radio 1 isométricamente —es decir sin modificar la longitud de las curvas trazadas sobre esta esfera— y que están alojadas dentro de otras esferas de radio más pequeño. Esas esferas de Nash-Kuiper nunca han sido visualizadas, y podrán serlo desde ahora por medio de una adaptación del algoritmo para este caso. Otros objetos esperan también una visualización, como las inmersiones isométricas del espacio hiperbólico o los de otras superficies con curvatura constante negativa [7]. Esas visualizaciones ciertamente harán aparecer estructuras de fractales lisos, ya que esta geometría está naturalmente generada por integración convexa. Un asunto apasionante es el caso de esas estructuras más allá de las matemáticas, por ejemplo, en fenómenos naturales [8].

A pesar de una reputación de tenaz abstracción, la teoría de la integración convexa ofrece un camino practicable para resolver numéricamente una cierta cantidad de problemas matemáticos. Nosotros no dudamos que ella inspirará otras aplicaciones.

Sólo para nuestros ojos

Para terminar este artículo, aquí hay tres imágenes exclusivas de la inmersión isométrica del toro cuadrado plano... en homenaje a John Nash y Nicolaas Kuiper por supuesto, que se atrevieron a imaginar esos extraños objetos hace solo sesenta años.

Versiones en alta definición de las dos últimas imágenes están disponibles respectivamente aquí y acá.