Hilbert était-il kantien ?

Le 7 octobre 2010  - Ecrit par  Joël Merker Voir les commentaires (4)

D’après Kant, l’apparence dialectique ou illusion de l’entendement
consiste à traiter les Idées ou concepts que forme nécessairement la
raison comme des concepts ayant une valeur objective, et c’est ce
qu’ont fait toutes les métaphysiques qui précédaient Kant, et auxquelles
il reprochait de prendre la nécessité subjective d’une liaison
de nos concepts pour une nécessité objective de la détermination des
choses en soi.

« Le fait remarquable, écrit Hilbert, dont nous venons de parler, et
certains raisonnements philosophiques ont fait naître en nous la
conviction que partagera certainement tout mathématicien, mais
que jusqu’ici personne n’a étayée d’aucune preuve
, la
conviction
, dis-je, que tout problème mathématique déterminé doit
être forcément susceptible d’une solution rigoureuse, ... ».

Là pour le coup, comme disait Gilles Châtelet, c’est pan dans le
mille : Hilbert commettrait précisément l’erreur que Kant fustigeait
déjà plus d’un siècle auparavant ! Pour autant, ce credo hilbertien se
positionne-t-il nécessairement dans une relation antagonique par
rapport à la critique kantienne de la métaphysique ? Aussi bien que
Riemann un demi-siècle auparavant dans ses Fragmente
Philosophische Inhalts
, Hilbert aurait-t-il seulement le devoir de se
positionner philosophiquement par rapport aux grands systèmes, ou bien
est-il exonéré d’un tel dialogue nécessairement exposé à la
controverse, en tant que les mathématiques sont une métaphysique qui
se réalise de manière imprévisible et potentiellement architecturale ?

Ainsi ces Idées de la raison, ajoute Kant (telles que par exemple,
en mathématiques, ce surprenant principe de
non-ignorance absolue édicté par Hilbert, lequel aurait dit à la fin
de sa vie que s’il avait dû ressusciter après sa mort, il aurait
demandé aux générations qui lui ont survécu, immédiatement et en tout
premier lieu, si l’hypothèse de Riemann avait été établie pendant la
durée de son sommeil dans l’au-delà), si précieuses qu’elles soient en
tant que principes régulateurs pour l’action de la pensée, ne peuvent
aucunement constituer des principes pour des connaissances objectives.
Il n’est nulle démonstration possible a priori de l’existence de
Dieu, de l’immatérialité ou de l’immortalité de l’âme, de l’infinité
du monde observable, de la continuité pure des mouvements des corps
physiques, de la liberté de l’homme, ou de la vérité éternelle et
ubiquitaire des mathématiques, et ce dernier point peut certes nous
apparaître regrettable, à nous, mathématiciens, mais le système
kantien est ferme quant à la congédiation des métaphysiques. Pour être
clair et un peu simpliste, tous les raisonnements de la métaphysique
« dogmatique » sont erronés, fallacieux, tendancieux, bref, ils
répondent à une exigence naïve d’apporter rapidement des réponses
simples à des questions qui sont en fait profondes et difficiles, ils
expriment une tendance naturelle de la raison, et ils limitent
l’ouverture purement « riemannienne » des mathématiques. Alors en
définitive, la conviction subjective a bien peu de poids face à ces
arguments. En effet et par ailleurs, chez Kant, la dialectique
transcendantale propose essentiellement de nous guérir de l’apparence
des jugements transcendantaux, et en même temps, de parvenir à
empêcher qu’ils ne nous trompent encore ultérieurement. Mais à
l’époque de Hilbert, cette tendance en direction de la métaphysique et
de la vérité était toujours coprésente dans la seule science qui sait
encore et toujours créer les conditions d’autonomisation de ses
propres certitudes, à savoir la mathématique.

Or depuis Kant, depuis la contre-attaque cinglante de Brouwer, et
aussi depuis les théorèmes de complétude et d’incomplétude de Gödel,
la question de la nature essentiellement vraie et intemporelle
des mathématiques n’est absolument pas résolue
, et encore moins
traitée, et certainement hors ANR, hors NSF [1] , hors CNRS, hors du réseau
global et international de la science qui a rétréci l’envergure
philosophique de ses enjeux à l’échelle de l’histoire récente. Le
besoin intrinsèquement urgent d’une critique de la raison
mathématique
n’est plus jamais ressenti comme il l’était dans les
années 1900-1940, et dès qu’il pointe implicitement dans un discours,
on doit le mettre entre parenthèses, on doit le considérer comme
obsolète et propre à des temps anciens, il fait partie maintenant de
l’Histoire de la philosophie ; lettre morte de pensées commentées par
des universitaires, il doit être masqué. En effet, s’exerce
actuellement une espèce de conformisme du non-engagement philosophique
qui nous fait à la fois admirer les croyances élégantes des temps
anciens et nous en détourner, avec une « coquetterie de la
simplicité » qui dissimule une superficialité possible de nos pensées,
un appauvrissement inavouable.

Mais pourquoi cela ? Pourquoi circulation, internétisation,
distribution, reproduction et banalisation estompent (occultent ?)
encore mieux que Kant ne l’a fait avec son système toutes les origines
problématiques de la pensée métaphysique spontanée de la raison qui
mobilisaient Hilbert ?

Ironie du sort, donc, de voir ce phénix faible pour nous, désormais
presque impuissant, ressurgir sur nos écrans le temps d’un clic, avant
de redisparaître muet dans ses cendres à cause de l’obnubilation
(puérile ?) des nouvelles technologies.

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Pour citer cet article :

Joël Merker — «Hilbert était-il kantien ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

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  • Hilbert était-il kantien ?

    le 8 octobre 2010 à 15:36, par Joël Merker

    Damien, merci tout d’abord pour ton message et ta réaction, mais je ne
    sache pas que le caractère éternel, ubiquitaire ou a priori des
    mathématiques ne reste pas problématique en soi, et aussi qu’il n’ait
    jamais jusqu’à présent été démontré effectivement (sinon, on
    enseignerait une telle démonstration dans tous les départements de
    mathématiques du globe), ne serait-ce que parce qu’il se peut fort bien
    que d’autres mathématiques dont nous ne connaissons rien soient déjà
    développées sur des exoplanètes lointaines et inobservables, et il est
    certain alors à l’avance que si nos manières de faire des
    mathématiques étaient confrontées à d’autres manières d’en
    faire, alors tout ce que nous nous imaginions jusqu’à présent au sujet
    de l’a priori devrait être encore plus radicalement remis en question
    que par la thèse d’inanité des questions proprement métaphysiques
    développée sur la Terre
    par le positivisme logique il y a un peu moins d’un
    siècle. Comme tu le dis, Hilbert ne s’oppose pas du tout à un
    caractère aprioristique des mathématiques (cette affirmation est une
    véritable litote !), car il croit que quelque chose de profond se joue
    derrière le fait que les mathématiques se sont toujours donné les
    moyens de produire des raisonnements vrais, rigoureux, indubitables,
    et qu’elles en auront toujours les moyens. C’est une conviction,
    dit-il, partagée par les mathématiciens, et aussi par nous,
    mathématiciens contemporains (certains constructivistes la remettent
    intelligemment en cause, mais seulement afin d’exhiber des questions
    plus fines d’effectivité en regard de théorèmes abstraits et
    imparfaits car ineffectifs, et de tels théorèmes abondent, comme nous
    le savons bien), mais ce caractère a priori ne provient toujours que
    d’une conviction interne quant à l’essence des mathématiques en
    elles-mêmes, et aussi en même temps, cette conviction subjective (qui
    est peut-être seulement aussi intersubjective), ne provient en rien de
    raisonnements que l’on parviendrait à rendre objectifs et
    indubitables.

    Afin de faire bien prendre conscience des problématiques
    philosophiques, il était donc nécessaire de souligner dans ce billet
    le contraste frappant entre l’une des racines de la critique kantienne
    de la raison pure (l’illusion transcendantale : Descartes, Leibniz) et
    ce credo hilbertien tout aussi profond et fort, que l’on pourrait
    qualifier d’ouvertement métaphysique, bien que, comme tout
    mathématicien en activité, Hilbert ne se soit pas consacré à étayer
    cette conviction par un système de pensée, car en fait, il a plutôt
    fait évoluer son fameux programme de constitution axiomatique des
    mathématiques vers un certain finitisme censé garantir un meilleur
    contrôle de la rigueur et de la vérité dans les développements formels. Il
    est en effet clair que convictions et visions, chez les
    mathématiciens, ne peuvent et ne doivent être que productrices de
    théories mathématiques (cesser de bavarder et se mettre au travail !),
    et que l’on a maintenant tout à fait conscience que les Graal de la
    philosophie des mathématiques sont inatteignables.

    À mon avis, cet état de fait : humilité et simplicité quant à la
    portée des théorèmes que l’on démontre chaque année témoigne que nous
    n’avons plus la force, à l’échelle individuelle, de remonter vers les
    grandes questions originaires, et comme il est toujours plus
    confortable psychologiquement d’oublier des exigences trop fortes
    quant à ce qu’on pourrait imposer à sa propre pensée, la philosophie
    des mathématiques subit actuellement de plein fouet l’ Atlantide
    de l’originaire
    .

    En définitive, quel est l’aspect qui est le plus fascinant dans la
    conférence de Hilbert en 1900 ? C’est, je crois, le fait qu’y sont
    formulées en toutes lettres des caractères d’ouverture vers le
    questionnement mathématique impulsé par une métaphysique
    d’inspiration riemannienne que Hilbert reprend à son compte
    en y ajoutant sa propre touche.

    C’est un peu comme le destin du problème de l’espace après Lie :
    Helmholtz était persuadé qu’il devait exister des raisons
    métaphysiques profondes et démontrables qui expliqueraient la
    structure tridimensionnelle à courbure constante de l’espace de la
    physique expérimentale et de la nouvelle géométrie de son époque. Il
    est bien entendu évident, pour la raison, que l’existence de ce qui
    est là dans le monde doit pouvoir en appeler à une raison d’être de
    son être-là, pour reprendre le ``Pourquoi y a-t-il quelque chose
    plutôt que rien ?’’ de Leibniz. Mais ce qui est particulièrement
    inattendu et frustrant pour le philosophe, c’est que ces intuitions
    légitimes d’après lesquelles des causalités supérieures devraient être
    à l’\oeuvre voient rapidement leur horizon assombri par la
    prolifération déraisonnable de l’ontologie mathématique. Sophus Lie
    qui s’était donné comme objectif principal d’élaborer une théorie
    continue des groupes de transformation afin de réaliser rigoureusement
    certaines idées de Helmholtz (programme d’Erlangen) est responsable
    d’une genèse, au sens lautmanien, qui se ramifie toujours
    actuellement. Et comme je le disais à l’instant, après des milliers
    de pages et des centaines de théorèmes foisonnants, Lie ne prend pas
    de position sur le problème de Helmholtz, il se situe ``en simplicité
    et en humilité’’ par rapport à la grande question de Helmholtz
    (pseudo-résolue naïvement par Helmholtz),
    et en vérité, il est peut-être bien déçu
    de constater que l’ontologie de son système de pensée ait proliféré à
    ce point, car il cherchait vraiment à résoudre complètement les
    questions, aussi bien que Hilbert lui-même, et il dit explicitement à
    la fin du Volume I de la Theorie der Transformationsgruppen
    qu’il reste débordé par une question qu’il n’arrive pas à résoudre,
    signe qu’il existe peut-être une branche indéfiniment imprévisible
    dans l’arbre de la théorie des groupes continus. C’est émouvant de
    voir un mathématicien avoir conscience, en vision systématique, d’une
    prolifération ontologique non maîtrisable.

    Pour terminer, en écho à la critique hégélienne de la métaphysique des
    m\oeurs chez Kant, je rappellerai que la congédiation des systèmes
    est une nécessité imprévisible de fait dans l’histoire, mais j’ajoute
    en m’inspirant de Riemann, et c’est là ma thèse, impersonnelle,
    principale, que l’ouverture et la non-réponse sont bien souvent
    maintenues à travers l’histoire, même quand une époque donnée souhaite
    oublier ce qui l’a précédée. Cette thèse contredit quelque peu la
    Phénoménologie de l’esprit
    , mais seulement parce que je ne l’articule
    que par rapport aux mathématiques.

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