Inégalité isopérimétrique et transport optimal

Une interview de Filippo Santambrogio

Piste noire Le 14 janvier 2019  - Ecrit par  Pierre-Antoine Guihéneuf, Filippo Santambrogio Voir les commentaires

Cette interview revient sur une partie des travaux d’Alessio Figalli (dont on a déjà parlé ici), qui a obtenu la médaille Fields en août dernier à l’ICM de Rio.
Filippo Santambrogio, professeur à l’institut Camille Jordan (Lyon), et spécialiste de transport optimal (déjà abordé ici ou ), nous raconte une partie des travaux d’Alessio concernant l’inégalité isopérimétrique.

Bonjour Filippo [1]. Est-ce que tu peux commencer par nous parler du transport optimal ?

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Gaspard Monge
père de la théorie du transport optimal

Le transport optimal est un problème qui a une longue histoire parce qu’il vient à l’origine de Gaspard Monge (1746 — 1818). Voilà le modèle : on se donne deux répartitions de masses, [2] et on cherche une application qui transporte la répartition d’origine vers la répartition d’arrivée. On calcule ensuite un « coût », qui peut être typiquement la somme des distances parcourues par chaque particule de la masse de départ. Parmi tous les réarrangements de particules possibles, on cherche celui qui minimise ce coût.

Monge s’est intéressé au problème où le coût est exactement égal à la distance, mais depuis il y a beaucoup d’applications qui ont été trouvées dans le cas où le coût est la distance au carré : si on considère des particules qui bougent, la vitesse au carré correspond à l’énergie cinétique, en accord avec les principes physiques [3]. Il existe plein d’autres applications, notamment en économie, avec des coûts plus abstraits : au lieu de penser à des particules qui se déplacent, tu considères un problème d’appariement entre les points de départ et les points d’arrivée. En économie, ça peut être un appariement entre employés et tâches, entre acheteurs et vendeurs, etc.

Quelle est la manière la plus économique de déplacer les deux tas orange vers les tas « cible » en pointillés ? Bien sûr, celle donnée par les flèches vertes (en haut) est bien meilleure que celle donnée par les bleues (en bas) !

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Pleuvra ou pleuvra pas ? La réponse grâce à l’équation semi-géostrophique.

Mathématiquement, il y avait plein de choses à faire : Monge a étudié beaucoup de propriétés de la solution du problème, mais il n’avait même pas démontré que la solution optimale existe — au 18e siècle ils ne se posaient pas vraiment ce genre de questions. Pour le problème précis de Monge, la vraie réponse est arrivée vers la fin du 20e siècle [4]. Ces travaux sont en lien avec les Équations aux Dérivées Partielles (EDPs) [5], et plus précisément l’équation de Monge-Ampère, c’est-à-dire l’équation « déterminant de la hessienne égal à quelque chose » [6]. Alessio a beaucoup travaillé là-dessus : il a publié toute une série de travaux, en particulier avec Guido De Philippis, sur la régularité des solutions de Monge-Ampère. Ça pourrait être considéré comme la partie « application du transport optimal aux EDPs » : dans ces travaux, il y a d’abord une étude d’EDP appliquée au transport optimal [7] mais, une fois qu’on sait que l’application optimale a un peu de régularité, on peut appliquer de nouveau ces résultats à des EDPs dans lesquelles elle apparaît, et la régularité permet de justifier rigoureusement qu’il n’y a pas de termes singuliers qui apparaissent dans l’équation. C’est en gros ce qui s’est passé pour des équations appliquées à la météorologie, comme par exemple l’équation semi-géostrophique.

Tu as fait un exposé Bourbaki [8] sur un travail auquel a participé Alessio, est-ce que tu peux nous en parler ?

Dans cet exposé Bourbaki, j’ai parlé de l’application du transport optimal à l’inégalité isopérimétrique. C’est quelque chose qui dès le départ était assez connu, c’est un calcul qu’on peut faire en classe facilement : on explique comment en utilisant le transport optimal on obtient l’inégalité isopérimétrique.

En classe, tu veux dire en deuxième année de master (M2) ?

Oui. Dans un cours de transport optimal en M2, je le donne parfois en exercice.

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Le général Bourbaki

Quelques mots sur le principe de l’inégalité isopérimétrique classique

Dans le plan, le problème est le suivant : on cherche, parmi les formes dont l’aire est $1$, celle qui a le périmètre le plus petit. Autrement dit, on veut faire paître des vaches dans un enclos de surface fixée (disons un hectare), en utilisant le moins de clôtures possible. Cette question est traditionnellement attribuée à Didon (princesse de Tyr vers 800 avant Jésus-Christ).

On sait depuis longtemps [9] que la forme optimale est le disque : par exemple, le carré d’aire $1$ est de périmètre $4$, tandis que le disque d’aire $1$ est de rayon $R=1/\sqrt \pi$ et est donc de périmètre $2\sqrt\pi\simeq 3,5$.

L’inégalité isopérimétrique classique dans le plan : le carré et le disque sont tous les deux d’aire 1, et le périmètre du disque est plus petit que celui du carré.

Dans l’espace, le problème devient : parmi les formes dont le volume est 1, quelle est celle dont le bord a la surface la plus petite ? Dans ce cas, la réponse est la boule !

Le lecteur intéressé par l’inégalité isopérimétrique pourra consulter cet article d’Images des Maths ou regarder cette vidéo des 5 minutes Lebesgue.

Quelles sont les motivations de ce travail ?

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Un cristal de Pyrite : dedans, tout à tendance à être carré !

C’est une bonne question. Je suis sûr que dans les travaux qui ont été faits, l’intérêt est principalement mathématique. Il y a quand même des motivations physiques. La première est l’application aux cristaux : dans les cristaux, les formes qu’on observe ne sont pas des boules rondes, mais ont des parties plates et des coins. L’idée est de dire qu’un cristal, s’il est dans l’état d’énergie minimale, prend une certaine forme. L’énergie dont on parle est l’énergie de surface, qui est liée au périmètre (ou plutôt au périmètre anisotrope), plus des termes d’énergie potentielle ou autre chose. Si le cristal a un peu plus d’énergie, il se déforme ; l’inégalité isopérimétrique quantitative dit que si l’énergie qu’on rajoute est faible, alors le cristal ne change pas trop sa forme.

Là où on peut ne pas être trop convaincu, c’est qu’on choisit de favoriser certaines directions fixées : si on prend un cristal, et si on le tourne de 45°, alors sous ces hypothèses il devient moins bien que le cristal initial. L’explication qui est donnée est que le bout de cristal n’est pas tout seul : ce qui importe ce n’est pas la direction en elle-même mais la direction relative par rapport au réseau cristallin dans lequel le bout de cristal se trouve.

Peux-tu nous parler plus précisément de ces travaux ?

Dans ce travail il y a eu 2 avancées. D’une part l’inégalité isopérimétrique anisotrope, c’est-à-dire qu’au lieu de regarder le vrai périmètre, on regarde ce qu’on appelle le périmètre anisotrope, ce qui signifie en gros que tu vas donner un coût plus élevé à certaines directions qu’à d’autres. C’est comme ça que par exemple, au lieu d’avoir la boule qui est la forme optimale pour l’inégalité isopérimétrique classique, tu peux avoir le carré [10] [11]. C’est déjà une généralisation, et ça peut toujours se faire avec la même méthode.

Ensuite ils ont voulu faire la version quantitative de l’inégalité isopérimétrique, c’est-à-dire sa stabilité. La question plus précise est : si un ensemble est presque optimal dans l’inégalité isopérimétrique, c’est-à-dire que son périmètre est proche du périmètre minimal (éventuellement le périmètre anisotrope) parmi les ensembles de volume donné, est-ce qu’on peut dire que cet ensemble est presque une boule [12] ? Alessio, avec Francesco Maggi et Aldo Pratelli, ont trouvé une manière d’avoir l’inégalité isopérimétrique anisotrope en utilisant le transport optimal. Ils ont ensuite estimé tous les termes qui apparaissent dans les inégalités pour avoir la version quantitative. C’est de ça que j’avais parlé dans le séminaire Bourbaki.

La médaille Fields d’Alessio a été motivée pour « ses contributions à la théorie du transport optimal et ses applications aux EDPs, à la géométrie métrique (les inégalités géométriques) et aux probabilités ». Ce travail correspond un peu aux applications aux inégalités géométriques.

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Alessio recevant sa médaille lors de l’ICM 2018

Démonstration de l’inégalité isopérimétrique par le transport optimal (attention, hors piste !)

Prenons un ensemble $E$ qui a le même volume que la boule $B$ de rayon $R$ (et centrée en l’origine), qui est disons $\omega_n R^n$. On utilise deux mesures qui sont la mesure uniforme $\mu$ sur $E$, et la mesure uniforme $\nu$ sur $B$, normalisées de manière à ce que ce soient des mesures de probabilité sur $E$ (les ensembles ont la même masse). Des théorèmes de transport optimal disent qu’il existe une application $T$ qui envoie $\mu$ sur $\nu$, et qui est le gradient d’une fonction convexe $u$ ($T=\nabla u$) [13]. Alors puisque $T$ envoie $\mu$ sur $\nu$, le théorème de changement de variables dit que le déterminant de sa jacobienne doit être égal à 1, parce que $\mu$ et $\nu$ sont des mesures uniformes. En particulier, on a $ (\det DT)^{1/n}=1$. Ça donne \[ \operatorname{Vol}(E) = \int_E 1 d \mu = \int_E (\det DT)^{1/n} d\mu. \] On utilise le fait que $T$ est le gradient d’une fonction convexe, donc que la jacobienne de $T$ est diagonalisable avec des valeurs propres positives $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$. Puis on applique l’inégalité arithmético-géométrique : \[ (\det DT)^{1/n} = \left(\prod_{i=1}^n \lambda_i\right)^{1/n} \le \frac{\sum_{i=1}^n \lambda_i}{n} = \frac{\operatorname{Tr}(DT)}{n}. \]

L’inégalité arithmético-géométrique est une sorte d’inégalité isopérimétrique pour les rectangles : à aire fixée, le rectangle de périmètre minimal est un carré.

La trace de $DT$, c’est la trace de la hessienne du $u$, c’est à dire que c’est le laplacien de $u$ : $\operatorname{Tr}(DT) = \Delta u$. Ça donne
\[ \operatorname{Vol}(E) \le \int_E \frac{\Delta u}{n}. \]
J’intègre par parties (en fait j’applique le théorème de Stokes, qu’on appelle aussi formule de Green, dans ce cas précis), ça fait
\[ \operatorname{Vol}(E) \le \frac{1}{n} \int_{\partial E} \nabla u . \vec{n}. \]
(où $\vec n$ est le vecteur unitaire tangent à $\partial E$). Et le gradient de $u$ c’est $T$. Mais $T$ transforme l’ensemble $E$ en la boule $B$. Donc la norme de $T$ est inférieure au rayon de la boule, qui est $R$. Si on note $\operatorname{Per}(E)$ le périmètre de $E$, ça donne
\[ \operatorname{Vol}(E) \le \frac{1}{n} \int_{\partial E} R = \frac{1}{n} \operatorname{Per}(E) R. \]
Mais le volume de $E$ c’est le même que le volume de la boule, qui est $\omega_n R^n$. Si on met tout ensemble ça nous donne que le périmètre de $E$ est plus grand que $n\omega_n R^{n-1}$, qui est par hasard le périmètre de la boule :
\[ \operatorname{Per}(E) \ge \operatorname{Per}(B). \]

Ça donne la preuve de l’inégalité isopérimétrique : le périmètre de n’importe quel ensemble est plus grand que le périmètre de la boule de même volume.

Quelle a été la nouveauté apportée par ces travaux ?

Avant cette technique de preuve utilisée par Alessio, Francesco et Aldo, on en connaissait une autre qui avait été imaginée par Gromov, et qui utilise ce qu’on appelle de transport de Knothe. C’est un autre type de transport, qui est assez important pour les applications. Je t’explique : en dimension 1, le transport optimal est facile à calculer, du point de vue numérique : on se donne deux mesures (autrement dit deux distributions de masses), et on veut trouver trouver une fonction monotone qui envoie l’une sur l’autre, ça c’est pas dur.

Comment déplacer une distribution de masses de manière optimale en dimension 1 ? Pas le choix, il faut faire glisser la masse de manière croissante. Pensez au Petit Prince, et à l’éléphant qui glisse dans le boa !

On peut utiliser deux fois ce transport optimal en dimension 1 pour définir un transport en dimension 2, qu’on appelle transport de Knothe.

Des détails sur le transport de Knothe (de nouveau, sortie de piste !)

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L’ordre lexicographique, ordre du dictionnaire
On se place en dimension 2. On prend deux mesures, qu’on appelle $\mu$ et $\nu$, et on fait la projection de chaque mesure sur l’axe $x$, ça donne deux mesures en dimension 1. On prend le transport optimal $T$ (qui est simplement le transport monotone) entre l’une et l’autre, et pour chaque $x$ on a un point $T(x)$. On regarde alors la distribution de masse induite par $\mu$ sur l’axe vertical passant par $x$ et celle induite par $\nu$ sur l’axe vertical passant par $T(x)$. On prend le transport monotone entre ces deux distributions de masse. De cette manière on obtient une application $K$ du plan dans lui-même, où la coordonnée $x$ de $K(x,y)$ ne dépend que de $x$ (par le transport entre les deux projections) et la coordonnée $y$ de $K(x,y)$ dépend de $x$ et $y$ (parce qu’elle est déterminée par le transport monotone en la variable $y$ entre deux mesures dépendant de $x$). Donc, si on regarde sa jacobienne (supposant qu’elle est régulière), on voit qu’elle n’est pas symétrique, mais elle est triangulaire, parce que la composante $x$ ne dépend pas de $y$. De plus, sur la diagonale, on a des nombres positifs. Cela implique que le transport de Knothe est monotone pour l’ordre lexicographique [14].

Ce transport marche plus ou moins bien pour démontrer l’inégalité isopérimétrique anisotrope, et aussi pour la version quantitative : pour obtenir le cas d’égalité avec cette méthode, tu as besoin d’utiliser le transport de Knothe dans une infinité de directions ; dans ce cas, c’est beaucoup moins facile pour quantifier combien tu perds si tu n’as pas l’égalité. C’est pour ça que Alessio, Francesco et Aldo ont compris que le mieux est d’utiliser le transport optimal, et d’étudier des propriétés d’estimation de régularité sur ce transport.

Donc le cœur de leur travail, ce n’est pas vraiment le transport optimal.

Ils ont quand même dû utiliser des propriétés du transport, ou de l’équation Monge-Ampère, ce qui est équivalent. Ils ont eu besoin d’informations sur les valeurs propres de la hessienne, en fait de la monotonie du transport optimal. Ils ont aussi dû faire pas mal de travail en théorie géométrique de la mesure, qui consiste à faire de la géométrie avec des objets très peu réguliers, comme des mesures.

De quand datent les travaux dont on parle ?

La preuve a dû être faite en 2008 et publiée en 2009 ou 2010.

Est-ce qu’il y a eu d’autres avancées depuis à ce sujet ?

Depuis ils ont démontré des énoncés similaires, en utilisant parfois des outils de transport, mais pas tout le temps, pour d’autres inégalités, géométriques ou fonctionnelles. Par exemple l’inégalité de Sobolev, où tu te poses le même type de questions. Mais les preuves par transport optimal sont assez spécifiques au cas où on sait déjà s’il y a un ensemble optimal, et s’il est sympa ; par exemple il y a des gens qui travaillent actuellement sur des inégalités similaires pour la sphère.

Post-scriptum :

Les auteurs tiennent à remercier Frédéric Le Roux pour ses nombreuses remarques , les relecteurs Lacouette et Himynameisarno, ainsi que les secrétaires de rédaction.

Article édité par Frédéric Le Roux

Notes

[1Convention typographique : en gras les questions de l’intervieweur, en italique ses commentaires et en romain les réponses de Filippo.

[2En langage mathématique, deux mesures de probabilité.

[3Donc dans ce cas, la distribution spatiale des particules est remplacée par la distribution de leurs vitesses, et la distance par l’énergie cinétique.

[4Il y a eu par exemple des propriétés démontrées par Kantorovich, qui était un mathématicien russe qui a beaucoup étudié les applications du transport optimal à l’économie et la logistique.

[5Quand on écrit la condition qu’une fonction transforme la densité donnée au départ en la densité donnée à l’arrivée, par un changement de variables, qu’on fait en classe, disons en deuxième année d’université, c’est le déterminant de la jacobienne qui apparaît. En plus, on peut démontrer — c’est un théorème de Brenier — que dans le cas du coût qui est le carré de la distance, le transport optimal est le gradient d’une fonction convexe, autrement dit sa jacobienne est une hessienne.

[6La hessienne est un objet mathématique qui mesure à quel point une fonction est loin d’être linéaire ; c’est une généralisation de la dérivée seconde aux fonctions de plusieurs variables.

[7Ce qui est, au contraire, une application d’EDP au transport optimal !

[8Le séminaire Bourbaki, du nom du mathématicien fictif Nicolas Bourbaki, est un séminaire mathématique de haut niveau qui a lieu environ quatre samedis par an à Paris. Sa spécificité est que les orateurs expliquent des résultats qui ne sont pas les leurs !

[9L’histoire de la preuve serait passionnante à raconter, disons juste ici qu’on considère aujourd’hui que la première preuve complète date de la fin du XIXe siècle.

[10Pour ça on prend la norme qui a le carré pour boule unité. Pour être plus précis, ici on considère la norme duale, donc il faut utiliser comme boule référence la boule unité de la norme duale.

[11En trichant un peu, on peut dire que le périmètre, c’est l’intégrale de 1 sur le bord. Ce 1 on le voit comme la norme de la normale, et on change la norme. Donc on fait l’intégrale d’une certaine norme non euclidienne du vecteur normal.

[12On mesure le fait que l’ensemble est loin d’être une boule en regardant le volume de la différence symétrique entre l’ensemble et la boule (ou plutôt l’inf du volume de la différence symétrique entre l’ensemble et tous les translatés possibles de la boule).

[13En fait, l’optimalité de $T$ ne sert pas vraiment ici !

[14C’est l’ordre des mots dans le dictionnaire, appliqué aux points du plan : $(0,1) < (2,-1)$ parce que la première coordonnée du premier point — ici 0 — est inférieure à la première coordonnée du second — ici 2. De même, $(0,0)<(0,1)$, parce que les deux premières coordonnées sont égales, et la seconde coordonnée du premier point est inférieure à la seconde coordonnée du deuxième point.

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Pour citer cet article :

Pierre-Antoine Guihéneuf, Filippo Santambrogio — «Inégalité isopérimétrique et transport optimal» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

img_18879 - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Antoine_de_Saint-Exup%C3%A9ry_-_Le_Petit_Prince_-_04.jpg
Le général Bourbaki - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Portrait_Bourbaki.JPG
Alessio recevant sa médaille lors de l’ICM 2018 - https://www.youtube.com/watch?time_continue=3005&v=TWZM_gVVVFM
img_18884 - https://commons.wikimedia.org/wiki/Crystal#/media/File:Pyriteespagne.jpg
Gaspard Monge - https://fr.wikipedia.org/wiki/Gaspard_Monge#/media/File:Gaspard_monge_litho_delpech.jpg
img_18886 - https://commons.wikimedia.org/wiki/Rain#/media/File:Regnbyge.jpg
img_18891 - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dictionnaire_de_l%27Acad%C3%A9mie_fran%C3%A7aise.jpg

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