Intervalles de confiance, le débat continue

Le 3 juin 2014 - Ecrit par Jean-Pierre Raoult Voir les commentaires (7)

Je vais m’efforcer de répondre ici globalement à des commentaires mis à la suite du billet, dont je suis l’auteur, publié sur Images des Mathématiques le 22 avril 2014, sous le titre « Intervalle de confiance, pourquoi tant de défiance ? » (référencé dans la suite [1]).

Ces commentaires ont été rédigés par Claudine Schwartz le 28 avril (référencé ici [2] et qui fut suivi le 30 avril par un mot d’approbation de Pierre Colmez), par « Jérôme » le 1er mai (référencé ici [3]), par Karen Brandin le 3 mai (référencé ici [4]) et par « Chistophec » le 5 mai (référencé ici [5]). Je prends en compte aussi une autre contribution de « Chistophec » (référencée ici [6]) qui fut placée le 3 mai en commentaire à un autre billet, daté du 1er octobre 2013, signé de Pierre Arnoux et moi-même, Pourquoi enseigner les probabilités et la statistique dans les cours de mathématiques ?, référencé ici [0] :

Je me réjouis, bien sûr, que, même s’il portait sur un point précis des programmes actuels des lycées, ce billet ait ainsi donné lieu à la poursuite du débat, important à mes yeux, sur l’opportunité de l’enseignement de la statistique, au sein des cours de mathématiques du secondaire, et ce singulièrement compte tenu de l’état actuel de ces programmes en France.

Je tiens à rappeler tout d’abord l’esprit dans lequel j’ai rédigé mon billet « Intervalle de confiance, pourquoi tant de défiance ? ». Il ne s’agissait absolument pas de proposer, face à la lettre du programme, une « contre-rédaction », qui serait intégralement enseignable ; mon propos était de m’appuyer sur la capacité mathématique des enseignants pour leur permettre d’avoir, sur ce point précis de ce programme, un recul qui aille au delà de son libellé ; c’est pour favoriser ce recul que j’ai, par exemple, utilisé systématiquement la dualité intervalle de fluctuation / intervalle de confiance même à des niveaux où elle n’est pas sollicitée par le programme ; c’est dans la même intention que je me suis un peu rapproché de ce qu’est le contexte courant de la pratique de confection d’intervalles de confiance.
Je suis très conscient de la gêne de nombre d’enseignants de mathématiques devant les éléments de statistique introduits au lycée (je pense ici à la « statistique inférentielle », que certains dénomment « induction statistique » et non à la « statistique descriptive » abordée dès le collège) mais, au vu des nombreux contacts que j’ai eus, je suis convaincu qu’est exagérée la généralisation qui figure dans [6] en ces termes : les enseignants du secondaire y sont instinctivement hostiles. C’est bien pourquoi il me semblait intéressant de « décortiquer » le point extrême du programme, à savoir l’intervalle de confiance, pour tenter d’analyser quels sont les ressorts de cette gêne et de tenter un peu d’y remédier.

Les arguments développés dans les commentaires auxquels je me réfère sont de trois types, assez imbriqués bien sûr, selon que les auteurs s’intéressent :

à la capacité des élèves, dans l’état actuel des choses en France, à profiter d’un enseignement de statistique tel que celui qui leur est « imposé »,
à l ’opportunité même d’enseigner la statistique comme partie d’un cours de mathématiques,
à l’adéquation d’un cours de statistique, en classe de mathématiques, à la réalité de la pratique de cette discipline.

1. Le souci de la capacité des élèves s’articule bien sûr avec une critique plus globale des programmes actuels de mathématiques.

Cette préoccupation est centrale dans [3] où, au titre de la description de la catastrophe en maths … dans une classe de lycée, on lit : ce qui est exposé dans ces articles (i.e.[0] et [1]) passe très largement au dessus de la tête de la plupart des élèves. Quel sens donner aux mots « approximation », « converger », « limite », etc à des élèves de terminale à qui on a retiré tout le bagage nécessaire pour comprendre les choses ? Sans aller à un constat aussi radical de « retrait de tout bagage », j’ai moi-même critiqué, dans une conférence présentée à l’IREM de Reims le 16 mai 2012 et titrée « Nouveaux programmes de probabilités et statistique au lycée, cohérence et incohérences », les effets nocifs de certaines impasses, souvent maladroites, dans le programme en vigueur actuellement, en particulier en analyse ; dans [3] est ainsi cité l’exemple emblématique des coefficients binomiaux introduits sans la notion de factorielle. Je suis convaincu que, loin de faire gagner du temps, ces impasses en font perdre car elles rendent plus difficile l’emploi des notions faute d’un formalisme suffisant, remplacé en partie par ce qui est appelé dans [6] les formes parlées courantes. Mais ces impasses nuisent aussi, Pierre Arnoux et moi-même l’avons développé dans [0], à l’usage pertinent, en calcul des probabilités et en statistique, de ces concepts, usage grâce auquel un cours d’analyse et un cours d’éléments de mathématiques appliquées (ce que je dis des « probas-stat » vaudrait par exemple aussi pour la mécanique) se valorisent mutuellement. Et des considérations analogues vaudraient notamment pour le barycentre, dont la « disparition » est à bon droit déplorée dans [4].

On aura compris que je ne suis pas d’accord quand il est dit dans [6] que l’emploi de ces formes parlées courantes … peut servir de prétexte aux défenseurs d’introduire des probabilités et des statistiques. Tout au contraire, pour ma part je plaide qu’un cours de mathématiques solide peut permettre d’aller, sur certains points de statistique, au delà du parler médiatique usuel en lui donnant un véritable contenu scientifique ; c’est ce que je me suis efforcé de développer dans [1] s’agissant des classiques « fourchettes » si présentes dans les médias, mais ce serait aussi valable s’agissant de l’adjectif « significatif » dans le cadre de l’initiation à la prise de décision en contexte aléatoire qui est aussi esquissée dans les programmes.

Malgré les insuffisances reconnues des programmes actuels, je n’irais pas jusqu’à les qualifier d’absurdes comme dans [3]. Mais le caractère technocratique de leur élaboration et de leur mise en pratique, dénoncé dans [3] et dans [5], a sans doute nui à leur pertinence et j’espère pour ma part que des améliorations interviendront dans un proche avenir, suite à la mise en place du Conseil Supérieur des Programmes et grâce au travail de la « Commission de suivi de la mise en œuvre des programmes de mathématiques de la DGESCO » (créée en 2012 et dont le premier rapport, sur la classe de seconde, a été publié en janvier 2014). Mais il me semble évident que des programmes de lycée doivent aujourd’hui tenir compte des évolutions de la pratique des mathématiques et de leur usage et que donc tant l’algorithmique que la statistique y ont leur place. La mise en œuvre ici n’implique pas seulement un souci d’équilibre entre ces « nouveautés » (toutes relatives !) et les incontournables aspects formels des mathématiques mais aussi l’attention portée à l’interpénétration entre toutes ces composantes. Je souhaite bien sûr que ceci s’accompagne d’un retour à un espace suffisant pour notre discipline dans les horaires (particulièrement sacrifiés, comme il est rappelé dans [4], en première S) mais, même dans l’immédiat, des travaux comme ceux de la commission inter IREM « Lycée » sont là pour prouver que des avancées sont possibles.

2. L’opportunité d’enseigner la statistique en cours de mathématiques est contestée de manière plus ou moins radicale dans les commentaires auxquels je réponds ici.

Dans [4] est en particulier mise en cause ma conclusion dans [1], selon laquelle il est essentiel de mettre en évidence la tension qui existe toujours entre la volonté de précision … et le coût en termes de calculs de cette précision. C’est pourtant là un des messages principaux que je voulais faire passer dans ce billet, au delà du point de programme sur lequel porte celui-ci ; dans le cas précis qui nous intéresse ici, la révélation de cette « tension » est un avantage que je trouve aux remaniements successifs du choix de l’intervalle de fluctuation quand on passe de la classe de seconde à celle de première, puis à la terminale (remaniements qui, je le sais, mettent mal à l’aise nombre d’enseignants). Or l’auteur de [4] déclare : Lorsque je lis cette phrase, je pense assister à un cours de micro ou de macro-économie mais pas un cours de maths … Le cours de maths n’a pas vocation à édicter des règles de décision au risque 5%. Et ce passage est cité, pour y être approuvé, dans [5]. Je pense pour ma part, tout au contraire, que cette tension est au centre des mathématiques et de l’usage qu’on en fait. Elle est présente dans toutes les techniques d’approximation et s’il était vrai, comme le pense l’auteur de [3], que ce mot d’approximation est aujourd’hui vide de sens pour les élèves, la priorité numéro un me semblerait être de lui redonner ce sens ; c’est au centre de l’analyse mathématique ; c’est capital pour le lien avec la physique, dont le relâchement (pour lequel les torts sont partagés, comme il est relevé dans [3]) est à juste titre stigmatisé dans [3] et dans [4] ; c’est vital pour contrôler la validité de ce que « crachent » les outils de calcul ; c’est essentiel pour créer des réflexes de méfiance permettant de garder un esprit critique face aux « chiffres », souvent abusivement précis, véhiculés par les médias.

Les mises en cause de fond de l’enseignement de la statistique invoquent aussi une difficulté intrinsèque pour les élèves, voire les enseignants à qui, est-il dit dans [6], on demande d’enseigner une langue qu’ils ne savent pas parler, en considérant que l’enseignement proposé (sans doute l’auteur visait-il là plus celui des probabilités que de la statistique) reposerait sur des considérations à peine accessibles à bac + 4 et nécessitant au minimum .. un master de philosophie ou mécanique quantique. L’un de mes buts dans mon billet est tout au contraire, à partir du cas jugé souvent « difficile » des intervalles de fluctuation et des intervalles de confiance, de montrer aux professeurs de mathématiques que l’on s’exprime « dans leur langue », à coups de quantificateurs universels, de fonctions réciproques, de graphiques, de solutions approchées d’une équation du second degré … et que donc le travail de médiation vers les élèves est à leur portée. Et j’espère avoir prouvé à certains de mes lecteurs que, à partir d’exemples simples et issus de la vie courante (les prévisions électorales ou les contrôles industriels de fabrication s’y prêtent bien), on peut rendre sensibles des résultats sans que les énoncés soient d’un formalisme extrêmement pointilleux comme il est dit dans [5] ; et l’usage de ces énoncés me paraît licite à partir du moment où leur signification est claire aux yeux des élèves, même si l’on doit leur dire que certaines démonstrations sont hors de leur portée.

Une autre mise en cause repose sur le caractère inopérant de ce que serait actuellement, en particulier faute de temps et de connexion avec le reste du programme, l’enseignement de la statistique. On lit dans [4] : Si l’exercice c’est aller dans « menu », sélectionner « normalFrép », entrer les paramètres et appuyer sur « EXE » … ça ne m’intéresse pas du tout ; je dirais : moi non plus ! Dans le même commentaire on lit : les élèves … sont ce que nous faisons d’eux : on teste au plus leur docilité, leur capacité à utiliser des modèles. L’auteur de [3] pense que les élèves n’y comprendront rien car ils retiendront une simple recette et que les intervalles de confiance se résument pour 95% des élèves à utiliser la bonne touche de la calculatrice sans rien y comprendre. Je ne vis pas dans un monde imaginaire et donc je ne nierai pas que, dans nombre de classes, comme il est aussi dit dans [4], le temps consacré à cette partie marginale du programme est très limité et … cela se réduit à une ou deux photocopies extraites du manuel, en général avec les sacro-saintes instructions respectant les modèles les plus répandus de calculatrices et un exemple « si le temps le permet ». Mais je ne m’y résigne pas ! Vu ainsi l’enseignement de la statistique (car ceci ne s’applique pas qu’aux intervalles de confiance) va évidemment tout à l’encontre de ce qui en fait à mes yeux la valeur, c’est-dire la considération de certains modèles (dont l’introduction doit bien sûr s’accompagner de précautions, comme le font, avec leurs contextes propres, les enseignants de sciences physiques, biologiques, économiques …) et, dans ces cadres, la compréhension de la signification des outils qu’on y emploie. Mes billets dans « Images des mathématiques » relèvent de mon combat pour faire participer, avec les moyens propres à leur discipline, les enseignants de mathématiques à la formation à cette démarche.

3. L’adéquation d’un cours de statistique, en classe de mathématiques, à la réalité de la pratique de cette discipline est une préoccupation qui me paraît fondamentale.

J’ai moi-même au cours de ma carrière universitaire pratiqué des études statistiques avec différents types d’utilisateurs et je sais combien il est délicat à chaque fois d’appréhender le contexte de travail du partenaire, de cerner où gît la variabilité dans les données qu’il invite à traiter, de comprendre quelle est sa problématique, de proposer les outils adaptés et enfin de lui présenter ce que ces outils font véritablement « dire » à ses données et ce qu’ils ne peuvent pas leur faire dire. Enseigner cela est délicat et en tout cas c’est difficilement l’ambition qu’on peut avoir de nos jours dans un enseignement de lycée français. Rappelons cependant que le caractère central de la prise de conscience de la variabilité et l’initiation progressive à son traitement sont au centre du projet de cursus de statistique élaboré en 2007 aux USA dans le cadre du rapport GAISE (Guideline for Assessment and Instruction in Statistics Education), qui constitue la proposition d’un cadre pour un curriculum statistique (qui couvrirait en France la scolarité de la maternelle aux classes terminales des lycées), édité par l’association des statisticiens américains (ASA) et dont une analyse a été présentée par Jeanne Fine, en 2013 dans la revue « Statistique et Enseignement » (volume 4, numéro 1).

L’approche de l’aléatoire par la prise de conscience de la variabilité à l’aide de simulations a été pratiquée en France dans les programmes mis en vigueur en classe de seconde en 2000, époque où les probabilités n’étaient pas enseignées au collège. Elle est évoquée dans [2] par Claudine Schwartz, qui avait été à l’origine de cette démarche. L’évolution du programme de troisième a conduit à ne pas maintenir cette approche au lycée, mais des collections de suites de tirages indépendants de $0$ et de $1$, avec probabilité $p$ de tirer $1$, peuvent permettre de mettre en pratique des calculs d’intervalles de fluctuation ou d’intervalles de confiance dans des cadres reproduisant les modèles dans lesquels ces objets sont pratiqués dans les programmes actuels.
Il ne s’agit bien sûr là que de manifestations « pauvres » de la pratique statistique effective et je suis bien conscient que, comme le note à juste titre Claudine Schwartz, le monde … de nombreux ouvrages pédagogiques de statistique est difficile à confronter à des questions de biologie et de données expérimentales ; parmi ces ouvrages pédagogiques on comptera bien sûr les manuels ou les documents ressources du ministère de l’éducation nationale.

Doit-on pour autant penser que, comme il est dit dans [5], nous nous trouvons actuellement en France face à une folie qui a tenté d’introduire un semblant d’enseignement de fausses stats dans le secondaire ? Je ne le pense pas et je considère que le cadre retenu par le programme permet par exemple, en choisissant des situations où l’on simule un grand nombre d’intervalles de confiance, de rendre sensible à des élèves leur variabilité et de mettre en évidence le fait que la proportion de cas de couverture de la valeur du paramètre qui préside à ces simulations est bien environ le niveau de confiance annoncé. Les ressources abondent ; celle que nous reproduisons ici figure dans l’ouvrage de Philippe Dutarte, titré « L’induction statistique au lycée, illustrée par le tableur, Geogebra, Scilab et Python » dont la mise en ligne (consultation libre) est prévue pour le mois de juin 2014. Il s’agit d’une suite de 100 intervalles de confiance au niveau de confiance 0, 95, dont chacun a été calculé sur un échantillon de taille 1000 simulé à partir de ce que fut le score de Barack Obama à l’élection présidentielle aux USA en 2012, à savoir 0,51 : dans cette simulation on observe 96 intervalles auxquels appartient la valeur 0,51 (dont 2 auxquels elle n’appartient que « de justesse ») .

Afin de manifester l’intérêt qu’il peut y avoir à traiter cet exemple en coopération avec d’autres enseignants (professeur d’histoire, professeur d’anglais si celui-ci veut aborder des points relatifs à la civilisation américaine), nous reproduisons un tableau des résultats de cette élection.

Il serait certes malsain de faire croire aux élèves que « toute la statistique » est dans les tirages indépendants de variables de Bernoulli, au paramètre inconnu de l’observateur mais ayant une réalité physique indiscutable, relativement auquel on pratique différentes problématiques (tester s’il a une valeur proposée, ou bien s’il est inférieur ou égal à une certaine valeur, ou bien proposer en ce qui le concerne un intervalle de confiance …). Et Claudine Schwartz n’a pas tort d’affirmer que la terminologie, notamment celle de « la vraie valeur d’une probabilité (ou d’un paramètre) », et la rhétorique employée au 20e siècle, en dépit de sa commodité pédagogique, conduisent à une perte de sens de la notion de preuve par les chiffres ; d’où une proposition de changement de rhétorique, pour l’adapter à notre époque où la notion de modèle est explicitement présente dans la plupart des démarches scientifiques (extraits de son article dont elle donne la référence dans [2], intitulé « La preuve par les chiffres (evidence based) : de quoi s’agit-il ? ».

Mais l’enseignement implique souvent une part de « perte de sens » comme le regrette Claudine Schwartz ; le problème est de savoir si la présentation d’un point volontairement limité, épuré, mais vraiment traité (et pas seulement effleuré comme il est condamné dans [4]) peut permettre d’amorcer une initiation à une vraie problématique. J’ai la conviction que le cadre de l’intervalle de confiance sur une proportion inconnue est dans ce cas, et que cela ne relève pas d’un volontarisme outrancier tel qu’il est condamné dans [5] sous le vocable de y’a qu’à. Ceci dit, je souhaite aussi bien sûr, avec Claudine Schwartz, que la statistique intervienne dans l’enseignement de ceux qui ont à la fois les questions et la production des données (physique, biologie, SES). Je diffère d’elle en ce qu’elle propose qu’ils soient seuls à la prendre en charge, les mathématiciens se concentrant sur le calcul des probabilités et l’expérimentation numérique. Or je suis pour ma part toujours persuadé que l’enseignant de mathématiques doit être armé pour situer la problématique statistique dans une certaine unité avec le calcul des probabilités et d’autres outils mathématiques ; et je garde un espoir, malgré les difficultés de toutes sortes rencontrées, dans ce que Claudine Schwartz appelle, dans une conclusion au ton assez désabusé,l’incontournable pluri disciplinarité. Mais tout ceci est aussi bien sûr affaire de formation, initiale et continue, des enseignants.

En conclusion je voudrais dire que je ne suis pas un « ayatollah » de l’enseignement de l’intervalle de confiance.

J’ai tâché par mon billet de faire réfléchir des enseignants de mathématiques qui y sont confrontés sur les sources des difficultés qu’ils y rencontrent et les possibilités de les surmonter. J’avais agi de même, en 2005, époque où c’était l’adéquation a une loi équirépartie (test du chi carré) qui était au programme, par un article dans le bulletin de l’APMEP (« Traiter l’adéquation à une loi équirépartie en classe terminale » , n° 461, 764-796). Et si l’intervalle de confiance passe à son tour à la trappe, je le regretterai mais je m’en consolerai ! J’entends bien, comme il est écrit dans [6], que Ce n’est pas parce que quelque chose est important qu’il doit forcément être introduit dans le secondaire. Mais il nous faut aussi choisir quelles sont les priorités dans l’éducation, afin notamment de, comme le dit Claudine Schwartz dans [2], tisser ensemble résultats mathématiques et consensus sociaux ; et la proposition qu’elle fait alors de dire qu’un modèle est « admissible » si la fréquence observée est là où on l’attend, i.e. dans l’intervalle de fluctuation, me convient tout à fait puisque graphiquement elle peut conduire, quand on revient au cadre du programme, à utiliser des abaques comme je le préconise moi-même (et l’intervalle de confiance est alors l’ensemble des valeurs « admissibles » du paramètre).

Je voudrais insister pour terminer sur le fait qu’une des priorités éducatrices est pour moi que, d’une manière ou d’une autre, les lycéens (qu’il s’agisse d’élèves des voies générales, technologiques ou professionnelles) soient confrontés à des situations d’élaboration de décisions dans des contextes d’incertitude, afin que soit stimulé leur esprit critique dans de telles situations ; et le rôle du professeur de mathématiques me semble dans ce cadre essentiel, à la fois par le caractère généraliste de l’enseignement qu’il peut fournir, aux côtés des vues plus ciblées des enseignants de matières utilisatrices de statistique, et par l’usage qu’il peut présenter du formalisme unificateur que permet sa discipline.

Commentaire sur l'article

Intervalles de confiance, le débat continue

le 3 juin 2014 à 09:46, par Karen Brandin

Je ne peux malheureusement pas me permettre à l’approche des épreuves du bac de répondre avec la sérénité et le degré de réflexion nécessaires car le temps me manque tout occupée que je suis à entrer dans mon rôle de « conditionneur » et de donneuse non plus de leçons mais de recettes puisque c’est ce que l’on attend de moi. :-(

Néanmoins, je tiens à dire que (comme d’autres j’en suis convaincue), je suis très sensible à vos efforts récurrents et quasi-pédagogiques vis à vis des enseignants, d’où qu’ils viennent. De lire des billets aussi sincèrement et durablement convaincus donne nécessairement à réfléchir et l’on se demande légitimement si l’on n’a pas un peu rapidement condamné cette intervention plus marquée des statistiques en terminale S.

De mon côté, une fois de plus, je ne hiérarchise pas les disciplines mathématiques ; j’ai fait des études longues en théorie algébrique des nombres, je n’en aurais pas fait en analyse numérique par exemple, ni même en théorie analytique des nombres donc il est évident qu’on n’avons pas tous la même sensibilité mathématique. Lorsque l’on enseigne, même si l’on a un devoir de réserve, il est un peu inévitable que le cours que l’on prodigue nous ressemble, c’est même souhaitable dans un certain sens car l’on y met un peu (beaucoup) de soi.

Une chose pourtant nous rassemble, c’est le SENS.

Donner du sens, de la matière à ce que l’on transmet et pour ce faire, il faut du temps et du recul. Or on n’a trop souvent ni l’un ni l’autre.

Ce temps, on ne l’a pas en terminale S ; on ne cesse même de courir après lui sans jamais le rattraper malheureusement.

Il n’y a pas de qualificatif assez enthousiaste pour se réjouir de l’introduction de l’option ISN (très diversement perçue par les élèves pourtant) alors puisque la voie est ouverte, que l’on soit plus ambitieux dans les options et que l’on crée un module de statistiques où l’on présente convenablement certains modèles statistiques et un module d’histoire des sciences tant qu’on y est car pour la plupart des Terminales S, Euclide déjeunait régulièrement avec Gauss !

Faire bien ce que l’on fait, est-ce trop demander ?

Les cours s’arrêtent vendredi 06 Juin ; combien de classe de terminales S n’ont pas encore traité la partie fluctuation/ échantillonnage ? Un nombre non-négligeable donc il va falloir aller « à l’essentiel » comme on dit pudiquement.

J’invite enfin à consulter sur le site de l’APMEP par exemple les sujets du bac S/ES cru 2014 (de moins en moins distincts d’ailleurs ; même les sujets de ES sont moins décevants).

Tous les énoncés ne sont pas accessibles en Latex donc je ne peux pas faire un copié-collé des extraits des énoncés et c’est bien dommage car ils sont tellement pauvres et redondants.

Voici la dernière question du petit exercice 1 de l’épreuve de Pondichéry.

L’entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la production est égal à 1\,\%. Afin de vérifier cette affirmation 800 moteurs sont prélevés au hasard. On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux.
Le résultat de ce test remet-il en question l’annonce de l’entreprise A ? Justifier. On pourra s’aider d’un intervalle de fluctuation.

On n’échappe pas aux lois normales, intervalles de fluctuation ou confiance mais c’est traité de manière complètement systématique et dépouillée.

Quant au corrigé, il se limite suivant à une réponse numérique : « à la calculatrice, nous obtenons » voire, dans le meilleur des cas, à un rappel de la ligne d’instruction à taper.

Bientôt, il faudra faire avec son téléphone portable une photo de l’écran de la calculatrice que l’on agrafera à la copie. C’est le progrès :-(

Mais mince, est-ce cela que sont devenus les maths ? À quand l’épreuve du bac qui tient sur un timbre poste ? En Inde, l’inspiration leur manquait tellement qu’ils ont utilisé cette année en ES le contexte de l’an passé en S :

Section S en 2013 (extrait) :

Dans une entreprise, on s’intéresse à la probabilité qu’un salarié soit absent durant une période d’épidémie de grippe.

Section ES 2014 (extrait) :

Une société s’est intéressée à la probabilité qu’un de ses salariés, choisi au hasard, soit absent durant une semaine donnée de l’hiver 2014.

On travaille toute une année d’arrache-pied pour ça ? Quelle crédibilité peut-on avoir auprès des élèves ? avec un sujet de spé au Liban où le vrai défit est de trouver les questions car chaque ligne commence par « on admettra que, » pour un sujet de spé en Amérique du Nord où il s’agit de prédire un comportement de suites à partir d’un extrait de table ?

Là encore, « exit » de l’arithmétique (des maths d’un autre temps), c’est l’avènement du calcul matriciel (très bonne idée dans le principe). Mais à part l’idée de faire des tableau avec des nombres sur lesquels on crée des opérations motivées par rien, que peut bien avoir compris un terminale S de l’outil matriciel si on le prépare simplement au bac ?

Il s’agit d’enseignement, il ne s’agit pas de briller en société. Je rappelle que la terminale est l’interface entre le secondaire et le supérieur, enfin « était » ...
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Intervalles de confiance, le débat continue

le 4 juin 2014 à 18:35, par ROUX

La réponse à ma question figure peut-être dans les articles de ce sujet mais, fysicien (comme fainéant), je ne me suis pas encore décidé à lire tout.

En classe, nous nous sommes brièvement posé la question de la construction en série de cercueils (inspiré(e)s par le Goncourt 2013 ?).

Plus ils sont longs, plus ils coûtent mais plus on en fait d’une même longueur, moins cela coûte : quel est l’intervalle de confiance de la longueur à choisir pour être certain(e) d’y mettre 95% des cadavres (les 5% de cercueils plus grands sont faits en petite série) ?

La question que je pose n’est pas celle-là.

La question qui m’intéresse est : avec son cours de mathématiques, un(e) élève de terminale S serait-il(elle) en mesure de déterminer le nombre minimal de personnes (vivantes) dont on va mesurer la taille afin de déterminer le bon intervalle de confiance au pourcentage voulu pour la longueur du cercueil ?

Si la réponse est positive, alors tout va bien, non ?
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Intervalles de confiance, le débat continue

le 9 juin 2014 à 14:20, par projetmbc

Avec cette chaleur, j’ai le temps de répondre un peu à ce post, sans avoir lu l’autre.

Dans [3] est ainsi cité l’exemple emblématique des coefficients
binomiaux introduits sans la notion de factorielle. Je suis convaincu
que, loin de faire gagner du temps, ces impasses en font perdre car
elles rendent plus difficile l’emploi des notions faute d’un formalisme
suffisant...

Cet exemple me semble mal choisi car on peut tout à fait faire le lien entre arbre de probabilité et le nombre de sous-ensembles à p éléments d’un ensemble de n éléments. Il suffit d’utiliser l’arbre « comme » une fonction indicatrice. Plus précisément, une colonne correspond à un élément fixé, et dans l’arbre on met 1 si l’élément est dans un sous-ensemble, et 0 sinon.

L’usage des factorielles devient réellement nécessaire pour des lois multinomiales par exemple.

Le vrai manque des factorielles est de pouvoir faire faire des calculs à la main, je sais c’est une idée un peu dingue que j’ai... ;-)

Et des considérations analogues vaudraient notamment pour le barycentre,
dont la « disparition » est à bon droit déplorée dans [4].

Sans parler des vecteurs qui avaient failli disparaître des programmes de 2nde, un triste épisode prouvant le manque de connaissances de certaines personnes qui font les programmes. Omettre le calcul vectoriel dans le plan et l’espace, c’’est juste oublié que ceci prépare la voie vers les espaces vectoriels et l’analyse fonctionnelle, deux domaines que tout le monde sait être totalement inutiles en sciences dures et humaines. :-)

pour ma part je plaide qu’un cours de mathématiques solide peut permettre
d’aller, sur certains points de statistique, au delà du parler médiatique
usuel en lui donnant un véritable contenu scientifique ;

Comment parler de contenu scientifique sans un minimum de démonstrations. Je pense notamment à l’intervalle de confiance telle qu’attendu en classe de 2nde. D’où vient cet inverse d’une racine carrée. Certains répondront, simulons, simulons... Mais c’est oublié tout ce que ceci implique. Par exemple, pourquoi raisonner car les ordinateurs font le boulot à notre place ? Si ’ordinateur dit que c’est vrai, c’est que c’est vrai. Et hop, on oublie tous les problèmes d’approximations numériques... etc. Oui aux simulations numériques en tant qu’outils dans des exercices, mais non pour « justifier » un résultat. C’est déstabilisant pour des élèves.

il me semble évident que des programmes de lycée doivent aujourd’hui tenir
compte des évolutions de la pratique des mathématiques et de leur usage et
que donc tant l’algorithmique que la statistique y ont leur place.

Est-ce si simple que cela ?

L’histoire des sciences montre que des notions pragmatiquement inutiles à un moment pourront être fécondes d’applications à un autre. Penser au problème des axiomes d’Euclide qui a aboutit aux géométries non-euclidiennes qui ont bien rendu service à Einstein. Ou bien l’arithmétique en informatique, ou les complexes en électricité.

Ne faire de la recherche que dans un sens serait la pire des erreurs !

De plus, il me semble que le lycée forme des esprits et non de futurs mathématiciens. C’est le post-bac qui doit se poser la question du choix de ce qui est utile à un moment donné. Je n’ai jamais fait de statistique dans mon cursus universitaire, mais il se trouve que j’ai dû à un moment donné apprendre la théorie de la mesure. Ceci me permet d’apprendre de nouvelles notions statistiques via des livres sans trop souffrir.

Je souhaite bien sûr que ceci s’accompagne d’un retour à un espace
suffisant pour notre discipline dans les horaires

C’est le noeud du problème.

L’opportunité d’enseigner la statistique en cours de mathématiques est
contestée de manière plus ou moins radicale
...
c’est essentiel pour créer des réflexes de méfiance permettant de garder
un esprit critique face aux « chiffres », souvent abusivement précis,
véhiculés par les médias.

Je n’ai rien contre mais autant faire des choses un minimum démontrables. Comment faire un cours pour critiquer le mauvais usage des statistiques en présentant des notions non démontrables aux élèves. En gros, croyez moi quand je vous dit qu’ils ne faut pas tout croire. Joli paradoxe. Non ? Un esprit critique est un esprit qui raisonne et non qui croit. Comment former un esprit critique mathématique si l’on demande aux élèves de croire leur professeur les yeux fermés. Et je répète qu’une simulation n’est pas une démonstration. Ce n’est pas mon rôle d’enseignant que d’être un gourou mathématique, bien au contraire.

même si l’on doit leur dire que certaines démonstrations sont hors de
leur portée.

« No comment ! » comme on dit outre Manche. Dans ce cas, autant aborder la diagonalisation de Jordan en Spécialité mathématique. Je sais, j’exagère...

On lit dans [4] : Si l’exercice c’est aller dans « menu », sélectionner
« normalFrép », entrer les paramètres et appuyer sur « EXE » … ça ne
m’intéresse pas du tout ; je dirais : moi non plus !

Dans ce cas, voir les sujets de BAC et aussi les consignes des inspecteurs qui ne jurent que par les TICEs. Il y a du chemin à parcourir...

L’auteur de [3] pense que les élèves n’y comprendront rien car ils
retiendront une simple recette et que les intervalles de confiance se
résument pour 95% des élèves à utiliser la bonne touche de la calculatrice
sans rien y comprendre.

Cette année, et en fait comme toujours, j’ai fait l’effort d’expliquer un minimum les choses à mes élèves via ce bon théorème de Moivre-Laplace. C’est un début d’explication mais je ne suis pas satisfait de ne pas pouvoir démontré ce théorème, faute de place dans la marge de mon cours de Lycée.

je suis bien conscient que, comme le note à juste titre Claudine Schwartz,
le monde … de nombreux ouvrages pédagogiques de statistique est difficile
à confronter à des questions de biologie et de données expérimentales ;`
parmi ces ouvrages pédagogiques on comptera bien sûr les manuels ou les
documents ressources du ministère de l’éducation nationale.

J’ai une idée folle. Ne serait-ce pas justement aux profs de Physique et de Biologie de donner du sens à ces notions. En tant que profs très curieux, j’ai depuis longtemps renoncé à l’omni-science. ;-) Arrêtons de segmenter les choses et faisons un travail global en faisant usage des connaissances de chacun si l’on veut réellement donné du sens à certaines notions. Le prof de maths fait al partie technique en proposant quelques exemples concrets, et ensuite charge au profs des Physique, Biologie, Histoire, ... de réinvestir notre apport technique.

je considère que le cadre retenu par le programme permet par exemple,
en choisissant des situations où l’on simule un grand nombre d’intervalles
de confiance, de rendre sensible à des élèves leur variabilité et de mettre
en évidence le fait que la proportion de cas de couverture de la valeur du
paramètre qui préside à ces simulations est bien environ le niveau de
confiance annoncé.

Très gênant comme raisonnement. Une simulation peut au mieux permettre de tester une conjecture, mais certainement pas d’établir un résultat. C’est une faute épistémologique grave et dangereuse !

d’où une proposition de changement de rhétorique, pour l’adapter à notre
époque où la notion de modèle est explicitement présente dans la plupart
des démarches scientifiques

Ce n’est pas propre à notre époque. Depuis combien de temps fait-on de la Physique, la reine de la modélisation ?
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Intervalles de confiance, le débat continue

le 10 juin 2014 à 10:45, par projetmbc

J’ai omis de parler d’un gros souci avec les lois continues et le fameux théorème de Moivre-Laplace tel que l’on trouve dans les manuels. Je cite :

Soit X_n une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n ;p). Alors pour tous nombres réels a et b tels que a < b,

P(a <= Z_n <= b) tend vers int(a ;b ;exp(-x^2 /2)/sqrt(2pi)) quand n tend vers +infini

où Z_n = (X_n - np)/rac(np(1 -p)).

Grand moment ! Qu’est-ce donc que cette probabilité P ? À ne pas donner de définition exacte d’une variable aléatoire, et pour cause, il faudrait définir ce qu’est un espace mesuré, on en arrive à des choses trop imprécises.
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Intervalles de confiance, le débat continue

le 19 juin 2014 à 15:53, par projetmbc

Parmi les autres critiques que l’on peut faire c’est d’avoir à utiliser des intégrations sur R tout entier pour la loi normale. Comment expliquer cela ? On bricole mais on laisse de côté certaines difficultés non négligeables.
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Intervalles de confiance, le débat continue

le 21 juin 2014 à 22:31, par jerome

Bonjour,

Tout d’abord, je félicite J.P. Raoult pour les efforts qu’il met dans l’écriture de ces billets. Il fait l’effort de répondre de façon développée, construite et réfléchie. J’espère qu’il me pardonnera de ne pas disposer du temps suffisant pour construire un texte parfaitement argumenté.

Nous disposons aujourd’hui des sujets de bac S de cette année. Passons la polémique affligeante sur la difficulté du bac S (N’aura-t-on pas encore 93 % de réussite cette année ? Les candidats n’ont donc pas à s’inquiéter car notre bonne maison éducation nationale veillera à diffuser des consignes de corrections qui feront atteindre le taux de réussite voulu).

Dans chaque sujet, nous avons pu apprécier les exercices de statistiques. Qu’en ressort-il si ce n’est que chaque exercice consistait à appliquer une recette de cuisine ?

Je maintiens donc qu’il convient de redonner un niveau suffisant en Mathématiques aux élèves, de vraies bases, pour qu’ils puissent ensuite avoir du recul sur des notions comme les délirants actuels « intervalles de fluctuation asymptotique » sortis du chapeau. Augmenter le niveau général des étudiants en mathématiques (et physique).
Redonner la capacité à calculer, rédiger, raisonner. Ensuite utiliser ces acquis pour enseigner les statistiques, pourquoi pas mais dès lors qu’on puisse ne pas se contenter de recettes mais écrire un minimum de mathématiques rigoureuses.

Greffer un chapitre de statistiques sur un programme déliquescent qui ne donne aucune arme aux élèves pour saisir les notions abordées est une tentative de plus pour masquer le crash de l’enseignement secondaire. Je tiens mes derniers paquets de copies de L2 éco-gestion et L1 Maths à disposition de tous pour constater à quel point la situation est sérieuse. Que l’IG de Maths réagisse, qu’elle prenne les choses en main. Qu’on refasse une filière scientifique mathématique car actuellement la terminale S est devenue une année de préparation à médecine ou sciences-po mais certainement pas à des études de mathématiques. Un élève de terminale S ne sait pas ce qu’est faire des mathématiques (même constat en physique).

J’ajoute que je suis positivement étonné du nombre important de collègues qui commencent à dire tout haut ce qu’ils pensent de le destruction de la filière S chaque fois qu’ils ont en face d’eux un IPR. Ca commence de chauffer dans certaines réunions où il est devenu assez courant d’entendre des accusations directes portées à l’encontre de l’IG qui a cautionné la quasi-destruction l’enseignement des mathématiques et de la physique en lycée.

Surtout qu’on ne fasse pas dire que je prône l’élitisme. Ce que je prône c’est le travail. Ce qui est insupportable c’est de fabriquer des générations entières d’élèves qui ne veulent rien apprendre, rien comprendre et en faire le moins possible tout en continuant aussi loin qu’ils le souhaitent les études. Qu’un élève ait 5 sur 20 n’a jamais été un problème pour moi dès lors qu’il travaille ! Aucun doute alors qu’il s’améliorera.

(Pour redonner un peu de crédit à une licence, un ministre aura-t-il le courage de décréter qu’un élève qui obtient moins de 2 sur 20 dans un module d’une licence ne peut valider son année. 2 sur 20, n’est-il pas le minimum à exiger d’un étudiant ? )

Cordialement.
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Intervalles de confiance, le débat continue

le 18 mars 2015 à 11:41, par Bernard Guennebaud

J’avais publié il y a plus d’un an un article intitulé « L’intervalle de confiance, cet inconnu ! »

http://questionvaccins.canalblog.com/archives/2014/01/22/29012325.html

J’ai pensé qu’il pouvait être utile de le faire connaitre sur ce site. Il est le fruit de 20 ans d’enseignement à des étudiants en sciences de la vie, de 1984 à 2004, de cette notion délicate qu’est l’intervalle de confiance...A cette expérience j’y ai ajouté plus récemment celle de son utilisation par les épidémiologistes dans les études dites cas-témoins et l’édifiante promenade sur internet ...

Ma proposition pour les élèves de terminales est simple : enseigner le test d’hypothèse pour une loi binomiale en calculant directement la probabilité nécessaire sur une calculatrice. Elles sont aujourd’hui dotées du calcul binomial. Plus besoin de s’empêtrer dans les approximations normales. Cela permet de se concentrer sur ce que signifie un test statistique et ce qu’il ne signifie pas et non sur le calcul. On pourrait même, s’il y avait un problème sur ce calcul, donner à l’examen une liste de probabilités calculées et les candidats auraient à faire le bon choix. De toute façon, les constructeurs de calculatrices s’adapteraient sans doute très rapidement s’il le fallait encore.

Si on veut parler d’intervalle de confiance on a alors au moins la définition : l’ensemble des valeurs théoriques acceptées par le test. On peut calculer les bornes par dichotomie.

Je trouve catastrophique de faire pratiquer le test d’hypothèse à partir de l’intervalle de confiance alors que ce dernier se définit à partir d’un test d’hypothèse ... Cette inversion est pédagogiquement et pratiquement une catastrophe. Les épidémiologistes, friands d’études cas-témoins, calculent systématiquement des intervalles de confiance alors que la moyenne théorique est posée : l’odds ratio théorique vaut 1. Ils feraient beaucoup mieux en calculant la probabilité associée au test qui donne une bien meilleur information...
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L'auteur

Jean-Pierre Raoult

Professeur des universités honoraire, Comité Scientifique des IREM (Instituts de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques)

Intervalles de confiance, le débat continue

1. Le souci de la capacité des élèves s’articule bien sûr avec une critique plus globale des programmes actuels de mathématiques.

2. L’opportunité d’enseigner la statistique en cours de mathématiques est contestée de manière plus ou moins radicale dans les commentaires auxquels je réponds ici.

3. L’adéquation d’un cours de statistique, en classe de mathématiques, à la réalité de la pratique de cette discipline est une préoccupation qui me paraît fondamentale.

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