Invitación a una degustación

Le 8 mai 2013  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu
Le 13 octobre 2021  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
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De tiempo en tiempo, cada profesor ubica a estudiantes que tienen una inclinación especial por las matemáticas. ¿Qué hacer para desarrollar su gusto por esta ciencia ? Uno de los métodos es recomendarles lecturas suplementarias, sorprendentes e instructivas.

Recientemente descubrí un compendio de veinte ensayos cortos de matemáticas que me parecen perfectamente indicados, que están en el final del liceo o comienzos de la universidad. Se trata de ’’Essays on numbers and figures’’ de Victor Prasolov [1]. Ahí uno aprende teoremas relativos a los números, los polinomios o las figuras de la geometría plana cuyas pruebas, nunca tan largas, son cada vez sorprendentes por su ingenio.

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Por ejemplo, el teorema siguiente descubierto por Fermat, que es el tema de uno de los ensayos más cortos del libro :

Todo número primo de la forma $4k + 1$ se escribe como suma de $2$ cuadrados de números enteros.

La prueba presentada por Prasolov se debe a Don Zagier, y fue enunciada por éste último en una sola frase [2] :

’’La involución sobre el conjunto finito
$S = \{ (x,y,z) \in (\mathbb{N^*})^3 : x^2 + 4yz = p \}$ definida por
\[(x,y,z) \to \left\{ \begin{array}{ll} (x + 2z, z, y - x - z) & \mbox{ si } x < y - z \\ ( 2 y - x, y, x - y + z) & \mbox{ si } y-z < x < 2y \\ (x - 2y, x - y + z, y) & \mbox{ si } x > 2y \end{array} \right. \]
tiene exactamente un punto fijo ; por lo tanto, $| S |$ es impar y la involución definida por $(x,y,z) \to (x, z, y)$ tiene también un punto fijo.’’ [3]

¿Cómo es que eso prueba el teorema ? ¿Por qué una involución sobre un conjunto finito de cardinal impar necesariamente tiene un punto fijo ?
Cada vez la respuesta aparece como un relámpago de comprensión : ¡parece tan simple ! Se necesita en cambio algunos pequeños cálculos, tal vez menos satisfactorios gustativamente, para ver que las fórmulas anteriores definen bien una involución del conjunto $S$.

Lo que me parece más agradable de saborear es el principio de la prueba : en vez de abordar de frente la ecuación inicial, se estudia otra que tenga un conjunto de soluciones que no es amorfa, ya que está provista de una simetría bilateral, descrita por la involución, cuyo conjunto de puntos fijos corresponde a las soluciones de la ecuación inicial. Es, en otro contexto, la misma estrategia que está en el texto cuando se estudia ecuaciones reales con la ayuda de números complejos. Las soluciones reales forman entonces el conjunto de los puntos fijos de la involución de conjugación [4]. Hay así un fino placer gourmet por experimentar, en el contacto con un manjar, alusiones a otros manjares.

¿Cómo se puede llegar a tal prueba, brillante de simplicidad y de ingenio ? Zagier explica que se inspiró en una prueba de Heath-Brown, inspirada a su vez por una prueba de Liouville. ¡Semejantes pruebas llenas de fineza no salen por lo tanto del solo genio de su autor, sino que se destilan en el alambique de los siglos ! Y no hace falta engañarse : incluso los grandes maestros llegan solo raramente a tal elegancia.

Por el contrario, hay que hacer degustar tales pruebas a los jóvenes, ya que pienso que no se puede soñar con hacer algún día investigación en matemáticas si uno no espera encontrar pruebas comparables por uno mismo. Afortunadamente, apreciar semejantes pruebas es más fácil que encontrarlas. El libro de Prasolov está rebosante de ellas : ¡a consumirlo sin moderación !

Notes

[1Publicado inicialmente en ruso en 1997, una traducción inglesa fue impresa en 2000 por la American Mathematical Society.

[3Aquí$| S |$ designa al cardinal del conjunto finito $S$ y una involución de $S$ es una función $f : S \to S$ que, aplicada dos veces seguidas, envía todo elemento del conjunto sobre sí mismo.

[4Zagier indica brevemente en su artículo otra analogía, para lectores más sagaces : ’’... el principio de base que hemos utilizado : “Los cardinales de un conjunto finito y de su lugar de puntos fijos bajo una involución tienen la misma paridad” es un análogo combinatorio y un caso particular del resultado topológico corespondiente : ’’La característica de Euler de un espacio topológico y de su lugar de puntos fijos bajo cualquier involución continua tienen la misma paridad’’.’’.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Invitación a una degustación» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Crédits image :

Image à la une - La foto del logo representa un detalle de la pintura ’’Los sentidos del oído, del tacto y del gusto’’, de Jan Brueghel el Viejo (1568-1625), expuesto en el Museo del Prado. Proviene de Wikimedia Commons.

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