Janvier 2016, 2e défi

Le 8 janvier 2016 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 2 :

Considérons le système d’équations suivant :

$x_1 + 4x_2+9 x_3 + 16 x_4 = 1$

$4 x_1 + 9 x_2+16 x_3 + 25 x_4 = 8$

$9 x_1 + 16 x_2+25 x_3 + 36 x_4 = 23.$

Calculer la valeur de $x_1 + x_2+x_3 + x_4$.

Solution du 1er défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est $\widehat{MBN}=56^\circ.$

Comme $M$ appartient à la médiatrice de $[AB]$, le triangle $ABM$ est isocèle en $M$ et $\widehat{MAB}=\widehat{ABM}.$ De la même manière, le fait que $N$ appartienne à la médiatrice de $[BC]$ fournit l’égalité $\widehat{NBC}=\widehat{BCN}.$

De plus, en décomposant l’angle $\widehat{ABC}$, on obtient :

$\widehat{ABM}+\widehat{MBN}+\widehat{NBC} = \widehat{ABC}=118^\circ,$

et comme la somme des angles d’un triangle est de $180^\circ$, on a aussi :

$\widehat{CAB}+\widehat{BCA}= 180^\circ-\widehat{ABC}=180^\circ-118^\circ=62^\circ.$

En utilisant les égalités $\widehat{ABM}=\widehat{CAB}$ et $\widehat{BCA}=\widehat{NBC},$ on obtient finalement : $\widehat{MBN}+62^\circ=118^\circ$ et donc $\widehat{MBN}=56^\circ.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Commentaire sur l'article

Janvier 2016, 2e défi

le 8 janvier 2016 à 08:40, par Al_louarn

Multiplier la seconde équation par $-2$.
Additionner les 3 équations du nouveau système.
On obtient $2 x_1 + 2 x_2 + 2 x_3 + 2 x_4 = 8$.
La réponse est donc $4$.
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