Un défi par semaine

Janvier 2016, 3e défi

Le 15 janvier 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 3 :

Il est demandé à quatre élèves d’une classe combien de pattes ont au total : une poule, six chiens et sept « palpigrades ». Louis répond $44$, Yvan $72$, Anne $65$ et Édouard $82.$ Sachant qu’un de ces élèves a raison, combien de pattes possède un « palpigrade » ?

Solution du 2e défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est $x_1 + x_2+x_3 + x_4 = 4.$

On observe tout d’abord que les coefficients de la variable $x_i$ dans les différentes
équations sont des valeurs successives de carrés : par exemple, les coefficients de $x_3$ sont successivement $9=3^2$, $16=4^2$ et $25=5^2$. De plus, trois carrés successifs notés $(n-1)^2$, $n^2$ et $(n+1)^2$ vérifient toujours l’égalité :

$(n-1)^2+(n+1)^2 = n^2-2n+1+n^2+2n+1 = 2n^2+2.$

Ainsi, en ajoutant la première équation à la troisième puis en soustrayant deux
fois la seconde, on trouve l’égalité :

$ 2 x_1 + 2 x_2+2 x_3 + 2 x_4 = 1 + 23 - 2\times 8= 8.$

Finalement, $x_1 + x_2+x_3 + x_4 = 4.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2016, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

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  • Janvier 2016, 3e défi

    le 15 janvier 2016 à 17:28, par Daniate

    Chacun sait qu’il ne reste plus de palpigrades que sur Tralfamagore, planète chère au regretté Kurt Vonnegut, où la courtoisie, bien qu’il ne le dise pas, est de garder baissé l’auriculaire gauche, si bien que les élèves Tralfamagoriens comptent naturellement en base 9. C’est donc le premier élève qui ne se trompe pas et les palpigrades sont donc bipèdes.

    Remarque : Quelle que soit la base choisie le deuxième ne donnera jamais la bonne réponse.

    Répondre à ce message

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