Un défi par semaine

Janvier 2016, 4e défi

Le 22 janvier 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (11)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 4 :

Considérons les trois carrés suivants : quelle est la valeur de $x+y+z$ ?

PNG - 22.4 ko

Solution du 3e défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est $8$ pattes.

Notons $x$ le nombre de pattes d’un « palpigrade ». Le nombre total de pattes est alors $2+6\times4+7x=7x+26.$ Comme le nombre de pattes d’un palpigrade est entier, seul Édouard a raison car $82-26=56$ est divisible par $7$ et aucun des nombres $44-26=18$, $72-26=46$, $65-26=39$ n’est divisible par $7$. Finalement, $x=\frac{82-26}{7}=8$ et un « palpigrade » a $8$ pattes.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2016, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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  • Janvier 2016, 4e défi

    le 22 janvier 2016 à 18:20, par orion8

    Bonjour, je ne sais pas si cette solution est dans une des vidéos, mais je la propose quand même.
    Je nomme les points en partant de celui en bas à gauche, et en tournant dans le sens trigonométrique : O, A, B ... jusque G. Un repère orthonormé du plan complexe est alors (O, A, G).
    On a :
    $z_D=3+\text{i}= \sqrt{3^2+1^2}\text{e}^{\text{i}x}= \sqrt{10}\text{e}^{\text{i}x}$ puis :
    $z_D-z_A=2+\text{i}= \sqrt{2^2+1^2}\text{e}^{\text{i}x}= \sqrt{5}\text{e}^{\text{i}y}$ puis :
    $z_D-z_B=3+\text{i}= \sqrt{1^2+1^2}\text{e}^{\text{i}x}= \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}z}$

    En faisant le produit des trois, il vient : $10\text{i}=10\text{e}^{\text{i}(x+y+z)}$
    soit : $10\text{e}^{\text{i}\dfrac{\pi}{2}}=10\text{e}^{\text{i}(x+y+z)}$
    C’est à dire : $x+y+z=\dfrac{\pi}{2}$ modulo $2\pi$

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