Un défi par semaine

Janvier 2016, 4e défi

Le 22 janvier 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (11)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 4 :

Considérons les trois carrés suivants : quelle est la valeur de $x+y+z$ ?

PNG - 22.4 ko

Solution du 3e défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est $8$ pattes.

Notons $x$ le nombre de pattes d’un « palpigrade ». Le nombre total de pattes est alors $2+6\times4+7x=7x+26.$ Comme le nombre de pattes d’un palpigrade est entier, seul Édouard a raison car $82-26=56$ est divisible par $7$ et aucun des nombres $44-26=18$, $72-26=46$, $65-26=39$ n’est divisible par $7$. Finalement, $x=\frac{82-26}{7}=8$ et un « palpigrade » a $8$ pattes.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2016, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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  • Janvier 2016, 4e défi

    le 27 janvier 2016 à 22:17, par eiti

    Une solution simple différente de celle de la vidéo : On note X, Y et Z les sommets portant les angles x, y et z. Ensuite, on note X, A, B et C les sommets du rectangle parcouru dans le sens trigonométrique. Enfin on note $\theta$ l’angle en B du triangle [X,Z,B]. L’aire du triangle [X,Z,B] vaut $\frac{1}{2}|AB||XZ|=1=\frac{1}{2}|XB| |ZB|\sin\theta=\sqrt{10}\sqrt{2}\frac{\sin\theta}{2}$ et de même l’aire de [Y,A,B] vaut $\frac{1}{2}|YA||AB|=1=\frac{1}{2}|YA||YB|\sin y=2\sqrt{5}\sin y$ dont on déduit que $y=\theta$. Comme l’angle en B du triangle [B,C,X] vaut $x$ et l’angle en $B$ du triangle [Z,A,B] vaut $z$, on obtient $x+y+z=\frac{\pi}{2}$.

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