Enoncé

La solution est $42$ marches.

Désignons par $x$ le nombre total de marches que possède l’escalier mécanique au repos et par $t$ le temps nécessaire à une marche pour passer d’une position à la suivante. De cette manière, une personne au repos (sans action de sa part) mettra un temps $xt$ à monter l’escalier. Puisque Pierre monte $21$ marches, il arrive en haut en un temps égal à $(x-21)t$ et pour monter une marche il a pris un temps égal à $\frac{(x-21)t}{21}$. D’une façon similaire, le temps pris par Louis pour monter chaque marche est $\frac{(x-28)t}{28}$. Puisque la vitesse de Louis est le double de celle de Pierre, le temps pris par Pierre pour monter une marche est le double de celui pris par Louis. Nous avons donc :

$\frac{(x-21)t}{21}=\frac{2(x-28)t}{28}$

d’où :

$\frac{x-21}{21}=\frac{x-28}{14}.$

En résolvant cette équation, nous obtenons :

$14(x-21) = 21(x-28)$

$2(x-21) = 3(x-28)$

$2x-42 = 3x-84 $

$x = 42.$

Ainsi, l’escalier mécanique possède $42$ marches.