Un défi par semaine

Janvier 2019, 4e défi

Le 25 janvier 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
Lire l'article en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 4

Ernest est parti en vacances durant quelques jours et il a noté qu’il a plu sept fois durant ses vacances. Quand il pleuvait le matin, le temps était clair l’après-midi. De plus, il n’a pas plu cinq après-midi et six matins.
Combien de jours ont duré les vacances d’Ernest ?

Solution du 3e défi de janvier :

Enoncé

La solution est : $3\,333\,333\,330$.

Soit $N$ le plus petit multiple positif de $1998$ qui contienne uniquement les chiffres 0 et 3.

$N$ est de la forme $N=d_1d_2d_3 \cdots d_n$ avec $d_i=0$ ou $3$ et $d_n=0$ puisque le dernier chiffre de $1998$ est $8$ et qu’aucun multiple de $8$ ne finit par $3$. $N$ est donc pair.

Nous avons aussi $\frac{N}{3}=e_1e_2e_3 \cdots e_n$ o√π $e_i=1$ si $d_i =3$ et $e_i=0$ dans l’autre cas.

Puisque $\frac{N}{3}$ est multiple de $9$ ($1998$ est en effet égal à $74\times 9\times 3$), il existe au moins $9$ chiffres 1 parmi les
$e_i$ pour avoir une somme des chiffres divisible par $9$, et comme $e_n=0$, le plus petit candidat pour $\frac{N}{3}$ est
$1\,111\,111\,110$.

Ainsi, le plus petit nombre $N$ est
$3\,333\,333\,330=1998\times 1\,668\,335$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2019, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - AGSANDREW/SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • Janvier 2019, 4e défi

    le 25 janvier 2019 à 10:28, par Daniate

    La fausse position donne une solution beaucoup moins simple mais sans inconnue.

    On considère que les 6 matins et 5 après midi ensoleillés sont conservés.

    En ajoutant un jour de pluie le matin, on ajoute un jour au séjour et 1 jour de pluie l’après midi c’est à dire 2 jours de pluie.

    Si le séjour dure 6 jours il y aura 1 jour de pluie. Pour passer à 7 jours de pluie il faut ajouter 3 jours au séjour.

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?