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Un défi par semaine

Janvier 2020, 3e défi

Le 17 janvier 2020 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 3

Trois nombres premiers $p$, $q$ et $r$ sont tels
que leur somme soit paire. Déterminer la valeur de
\[pqr-2(pq+qr+rp)+4(p+q+r).\]

Solution du 2e défi de janvier :

Enoncé

Considérons l’un des triangles, comme illustré ci-dessous.

D’après le théorème de Pythagore, on a
$BC= \sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\,\text{cm}$.

D’autre part, la construction initiale entraîne que les angles $\widehat{CAD}$ et $\widehat{ABD}$ sont égaux, car ils appartiennent à des triangles superposables.

Les triangles rectangles $ABD$ et $CBA$ sont alors semblables.

Ainsi, $\frac{AD}{AC}=\frac{BA}{BC}$, d’où l’on tire $AD= \frac{3}{\sqrt{10}}\,\text{cm}$.

En utilisant à nouveau le théorème de Pythagore, cette fois dans le triangle $ADB$, on obtient
\[BD= \sqrt{3^2-\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right )^2}=\sqrt{\frac{81}{10}}=\frac{9}{\sqrt{10}}\,\text{cm}.\]
On en déduit que l’aire du triangle $ABD$ vaut $\frac{1}{2}\left(\frac{9}{\sqrt{10}}\right )\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{27}{20}\,\text{cm}^2$.

L’aire coloriée étant formée de quatre copies superposables du triangle $ABD$, elle vaut donc
$4\times \frac{27}{20}=\frac{27}{5}\,\text{cm}^2$.

Par ailleurs, l’aire totale du carré est $3^2=9=\frac{45}{5}\,\text{cm}^2$, donc le pourcentage cherché est
\[ \frac{27/5}{45/5} = \frac{27}{45} = \frac{3}{5} = 60\,\%. \]

La solution est $60\,\%$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Commentaire sur l'article

Janvier 2020, 3e défi

le 17 janvier 2020 à 07:37, par Al_louarn

Au moins un des nombres $p$, $q$, $r$ est pair sinon leur somme serait impaire. Et ce nombre est $2$ puisque c’est le seul premier pair. Par ailleurs l’expression à évaluer est invariante par permutation de ses variables donc on peut arbitrairement supposer que $p=2$, d’où :
$pqr - 2(pq + qr + rp) + 4(p + q + r) = 2qr - 2(2q + qr + 2r) + 4(2+q+r)$
$=2qr-4(q+r) - 2qr + 8 + 4(q+r) = 8$
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Janvier 2020, 3e défi

le 17 janvier 2020 à 07:53, par Al_louarn

Et au passage cette formule est égale à volume - aire + longueur totale des aretes d’un parallélépipède rectangle de dimensions $p$, $q$, $r$
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Janvier 2020, 3e défi

le 17 janvier 2020 à 08:40, par amic

On peut aussi voir que c’est $(p-2)(q-2)(r-2)+8$ ce qui donne directement le résultat.
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Janvier 2020, 3e défi

le 17 janvier 2020 à 12:14, par Gérard JONEAUX

La formule est le développement de (p+2).(q+2).(r+2) + 8. La seule possibilité pour que p+q+r soit pair est que l’un de ces trois nombres premiers soit 2, donc le produit est nul et la somme est +8.
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