Janvier 2020, 5e défi

Le 31 janvier 2020 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 5

Déterminer les cinq nombres entiers tels que les sommes de ces entiers pris deux par deux soient $0, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 11, 13$ et $15$.

Solution du 4e défi de janvier :

Enoncé

Notons $n$ l’âge de Victor. Le nombre de six chiffres obtenu en écrivant bout à bout trois fois $n$ est simplement le produit $n \times 10\,101$.

Si l’on note $a$ l’âge de sa femme et $b$, $c$, $d$, $e$ les âges de leurs filles (rangés par ordre décroissant), on obtient l’inégalité

$10\,101 \times n = n \times a \times b \times c \times d \times e$,

d’où l’on tire $10\,101 = a \times b \times c \times d \times e$.

Or, la décomposition en facteurs premiers de $10\,101$ est $3 \times 7 \times 13 \times 37$.

On doit donc nécessairement avoir $a = 37$, $b = 13$, $c = 7$, $d = 3$ et $e = 1$.

Ainsi, la fille aînée de Victor a $13$ ans.

La solution est $13$ ans.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Janvier 2020, 5e défi

le 31 janvier 2020 à 08:27, par Al_louarn

Avec $i$ nombres impairs parmi les $5$ on obtient les $i(5-i)=4$ sommes impaires $9,11,13,15$
Cette équation admet deux solutions : $i=1$ ou $i=4$. Dans tous les cas on a $4$ nombres de même parité, et un nombre $m$ de parité différente des autres.
Comme les $4$ sommes impaires sont en progression arithmétique de raison $2$, en leur retranchant $m$ on voit que c’est aussi le cas pour les $4$ nombres de même parité.
On peut donc les écrire $n, n+2, n+4, n+6$. Et $m+n=9$ donc $m=9-n$.
On remarque que les $4$ nombres donnent au moins deux fois la même somme : $n + (n+6) = (n+2)+(n+4)=2n+6$, ce qui correspond forcément à $4$, seul doublon dans la liste de leurs sommes.
D’où $2n+6=4$, puis $n=-1$
On en déduit que les $5$ nombres cherchés ne peuvent être que $-1, 1, 3, 5, 10$, qui donnent bien les $10$ sommes demandées.
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