Un défi par semaine

Janvier 2021, 2e défi

Le 8 janvier 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 2

Toutes les longueurs des côtés d’un triangle isocèle sont des nombres entiers. Le périmètre de ce triangle mesure $20$ cm. Combien existe-t-il de possibilités pour les longueurs de ses côtés ?

Solution du 1er défi de janvier :

Enoncé

Si Alfred dit la vérité, alors Bernard est
le plus jeune, ce qui contredit les dires de Louis, Hector et Bernard.
On aurait alors trois menteurs, ce qui n’est pas possible : Alfred est donc un menteur.

Si Hector dit la vérité, alors Bernard est le plus vieux et Hector est le plus jeune, ce qui contredit les trois autres personnes. Ainsi, Hector est un menteur.

Finalement, Louis et Bernard disent la vérité et les menteurs sont Alfred et Hector. Une possibilité serait qu’Alfred soit l’aîné, suivi de Bernard, Hector et Louis.

La réponse est Bernard et Louis.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2021, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

  • Janvier 2021, 2e défi

    le 8 janvier à 08:24, par Christophe Boilley

    Autorise-t-on les triangles plats ?
    Par ailleurs, si les longueurs de côtés sont des nombres entiers de millimètres, cela fait beaucoup plus de possibilités que s’il s’agit de nombres entiers de centimètres.
    Il aurait été plus simple et cohérent de dire que le périmètre de ce triangle mesure 20 unités.

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  • Janvier 2021, 2e défi

    le 8 janvier à 08:38, par Al_louarn

    Soit $n$ la longueur de la moitié de la base du triangle. Alors $n>0$ et les deux autres côtés sont de longueur $\dfrac{20-2n}{2}=10-n$. Donc $n$ est un entier non nul.
    De plus en traçant la hauteur issue du côté opposé à la base on partage le triangle isocèle en$2$ triangles rectangles avec chacun un côté de longueur $n$ et l’hypothénuse de longueur $10-n$, d’où $n < 10-n$, ce qui donne $n<5$.
    Finalement les seules possibilités sont les triangles de côtés $2n,10-n,10-n$ avec $1 \leq n \leq 4$.
    Il y a donc $4$ possibilités, que voici :
    $2,9,9$
    $4,8,8$
    $6,7,7$
    $8,6,6$

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    • Janvier 2021, 2e défi

      le 8 janvier à 09:41, par Niak

      Oui, ou peut-être plus simplement, si $(a,a,b)$ sont les côtés, $2a+b=20$ et l’inégalité triangulaire (stricte) est vérifiée si et seulement si $0 < b < 2a$, i.e. $5 < a < 10$, d’où l’on tire les $4$ solutions.

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      • Janvier 2021, 2e défi

        le 8 janvier à 19:28, par Al_louarn

        Ah oui plus simple en effet, merci :-)

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  • Janvier 2021, 2e défi

    le 9 janvier à 08:40, par ROUX

    2*x+y=20 donc y est pair.
    2*x>y donc 20-y>y ou y<10.
    Donc y=2 ou 4 ou 6 ou 8.
    Donc il existe quatre couples (x,y).

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  • (Nouveau) Janvier 2021, 2e défi

    le 11 janvier à 21:05, par dpmontange

    Nouveau dessin (corrigé).

    Document joint : new_dessin_defi_02.01.2021_.pdf
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