Un défi par semaine

Janvier 2021, 3e défi

Le 15 janvier 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 3

Si $m$ et $n$ sont deux entiers positifs tels que $m$ possède $11$ diviseurs positifs et $n$ en possède $15$, quelle est la plus petite valeur possible du nombre de diviseurs positifs du produit $mn$ ?

Solution du 2e défi de janvier :

Enoncé

La réponse est : 4 possibilités.

Soit $a$ la longueur commune aux deux côtés égaux du triangle isocèle.

Comme le périmètre du triangle mesure $20$ cm, le troisième côté a pour longueur $(20-2a)$ cm, qui doit être positif, donc $a<10$.

Dans un triangle, la longueur d’un côté est plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés, on a donc $20-2a<2a$ soit $20<4a$ et donc $5 < a$.

L’entier $a$ appartient donc à $]5,10[$ et ne peut donc prendre que les valeurs $6,7,8$ ou $9$.

En examinant tous les cas de figure, on obtient les longueurs de côtés suivantes :
$6,6,8$ ; $7,7,6$ ; $8,8,4$ ; $9,9,2$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2021, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

  • Janvier 2021, 3e défi

    le 15 janvier à 08:23, par Christophe Boilley

    Bien sûr, si n et m sont deux puissances de 2, le nombre de diviseurs de nm est facile à obtenir. Mais même en remplaçant 11 et 15 par d’autres entiers, je n’ai pas trouvé de cas qui donne moins de diviseurs au produit mn.

    En notant n = ∏ p_i^(d_i) et m = ∏ p_i^(c_i), on obtient ∏ (d_i + 1) diviseurs pour n, ∏ (c_i + 1) diviseurs pour m, et ∏ (c_i + d_i + 1) diviseurs pour nm. Or ce nombre est toujours supérieur à ∏ (d_i + 1) + ∏ (c_i + 1) − 1.

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  • Janvier 2021, 3e défi

    le 15 janvier à 09:58, par François

    Si la décomposition en nombres premiers d’un entier est $n=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}$, alors le nombre de diviseur de $n$ est $d(n)=(a_1+1)\cdots (a_k+1)$. Donc si $d(n)=11$ alors $n=p_1^{10}$ et si $d(m)=15$ alors soit $m=p_2^2p_3^4$ soit $m=p_4^{14}$ et $nm=p_1^{10}p_2^2p_3^4$ ou bien $nm=p_1^{10}p_4^{14}$.
    Si $p_1$ est distinct de $p_2$, $p_3$ ou $p_4$, $d(nm)=11*15=165$, c’est le cas où $n$ et $m$ sont premiers entre eux.
    Dans le cas où $m=p_2^2p_3^4$ , si $p_1=p_2$, $nm=p_1^{12}p_3^4$ et $d(nm)=13*5=45$, si $p_1=p_3$, $nm=p_1^{14}p_2^2$ et $d(nm)=15*3=45$.
    Dans le cas où $m=p_4^{14}$, si $p_1=p_4$ alors $nm=p_1^{24}$ et $d(nm)=25$.
    La solution est donc $25$.

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  • Janvier 2021, 3e défi

    le 17 janvier à 15:54, par CAMI

    m a 11 diviseurs, n a 15 diviseurs, n*m a 300 diviseurs possibles si les diviseurs de m et n sont tous différents.
    Si m = a^10 et a>0, m a 11 diviseurs qui sont 1, a, a*a, a*a*a, a*a*a*a, a*a*a*a*a, a*a*a*a*a*a, a*a*a*a*a*a*a , a*a*a*a*a*a*a*a, a*a*a*a*a*a*a*a*a, a*a*a*a*a*a*a*a*a*a.
    Si n = a^14 , on a 15 diviseurs de n 1, a, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9, a^10, a^11, a^12, a^13, a^14.
    Alors m*n a 25 diviseurs 1 et a^n pour n de 1 à 24.

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