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• Janvier 2021, 3e défi

  le 15 janvier 2021 à 08:23, par Christophe Boilley

  Bien sûr, si n et m sont deux puissances de 2, le nombre de diviseurs de nm est facile à obtenir. Mais même en remplaçant 11 et 15 par d’autres entiers, je n’ai pas trouvé de cas qui donne moins de diviseurs au produit mn.

  En notant n = ∏ p_i^(d_i) et m = ∏ p_i^(c_i), on obtient ∏ (d_i + 1) diviseurs pour n, ∏ (c_i + 1) diviseurs pour m, et ∏ (c_i + d_i + 1) diviseurs pour nm. Or ce nombre est toujours supérieur à ∏ (d_i + 1) + ∏ (c_i + 1) − 1.

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• Janvier 2021, 3e défi

  le 15 janvier 2021 à 09:58, par François

  Si la décomposition en nombres premiers d’un entier est $n=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}$, alors le nombre de diviseur de $n$ est $d(n)=(a_1+1)\cdots (a_k+1)$. Donc si $d(n)=11$ alors $n=p_1^{10}$ et si $d(m)=15$ alors soit $m=p_2^2p_3^4$ soit $m=p_4^{14}$ et $nm=p_1^{10}p_2^2p_3^4$ ou bien $nm=p_1^{10}p_4^{14}$.
  Si $p_1$ est distinct de $p_2$, $p_3$ ou $p_4$, $d(nm)=11*15=165$, c’est le cas où $n$ et $m$ sont premiers entre eux.
  Dans le cas où $m=p_2^2p_3^4$ , si $p_1=p_2$, $nm=p_1^{12}p_3^4$ et $d(nm)=13*5=45$, si $p_1=p_3$, $nm=p_1^{14}p_2^2$ et $d(nm)=15*3=45$.
  Dans le cas où $m=p_4^{14}$, si $p_1=p_4$ alors $nm=p_1^{24}$ et $d(nm)=25$.
  La solution est donc $25$.

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• Janvier 2021, 3e défi

  le 15 janvier 2021 à 10:57, par François

  erreur $13*5=65$

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• Janvier 2021, 3e défi

  le 17 janvier 2021 à 15:54, par CAMI

  m a 11 diviseurs, n a 15 diviseurs, n*m a 300 diviseurs possibles si les diviseurs de m et n sont tous différents.
  Si m = a^10 et a>0, m a 11 diviseurs qui sont 1, a, a*a, a*a*a, a*a*a*a, a*a*a*a*a, a*a*a*a*a*a, a*a*a*a*a*a*a , a*a*a*a*a*a*a*a, a*a*a*a*a*a*a*a*a, a*a*a*a*a*a*a*a*a*a.
  Si n = a^14 , on a 15 diviseurs de n 1, a, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9, a^10, a^11, a^12, a^13, a^14.
  Alors m*n a 25 diviseurs 1 et a^n pour n de 1 à 24.

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