Enoncé

La réponse est : $1$ cm.

Soit $ABCD$ le quadrilatère et supposons que l’on a $AB=2$ cm.
Soit $M$ le milieu du segment $[AB]$, de sorte que $AM=MB=1$ cm.

On va montrer que $M$ est le centre du cercle. Pour cela, il suffit de montrer que $MD=MC=1$ cm.

Par symétrie de la figure par rapport à l’axe vertical (passant par $M$), les angles $\widehat{MBC}$ et $\widehat{MAD}$ sont égaux: notons $x$ leur valeur.
Comme $AM=AD=1$ cm, le triangle $AMD$ est isocèle en $A$, et donc
$\widehat{AMD}=\widehat{ADM}=\frac{(180^\circ-x)}{2}=90^\circ-\frac{x}{2}$.
Par symétrie, on a $\widehat{BMC} = \widehat{BCM}=90^\circ-\frac{x}{2}$.
On a alors $\widehat{CMD}=180^\circ-\widehat{AMD}-\widehat{BMC}=180^\circ-(90^\circ-\frac{x}{2})-(90^\circ-\frac{x}{2})=x$.

Par conséquent, les triangles $AMD$ et $MCD$ ont leurs angles égaux (l’un à $x$ et les deux autres à $90^\circ-\frac{x}{2}$).
Ainsi, ils sont semblables.
On a alors:
\[ \frac{AD}{MD}=\frac{MD}{CD} \]
et donc $MD^2=1$, d’où $MD=MC=1$ cm.
Comme $AM=MB=1$ cm, le point $M$ est le centre du cercle et son rayon vaut donc $1$ cm.