Un défi par semaine

Janvier 2022, 1er défi

El 7 enero 2022  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (2)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : «Les maths, une aventure humaine».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 1

Dans la fraction $\dfrac{952\,473}{18}$, quelle paire de chiffres adjacents du numérateur doit-on permuter pour que le résultat diminue de $1500$?

Solution du 5e défi de décembre 2021 :

Enoncé

La réponse est : $1$ cm.

Soit $ABCD$ le quadrilatère et supposons que l’on a $AB=2$ cm.
Soit $M$ le milieu du segment $[AB]$, de sorte que $AM=MB=1$ cm.

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On va montrer que $M$ est le centre du cercle. Pour cela, il suffit de montrer que $MD=MC=1$ cm.

Par symétrie de la figure par rapport à l’axe vertical (passant par $M$), les angles $\widehat{MBC}$ et $\widehat{MAD}$ sont égaux: notons $x$ leur valeur.
Comme $AM=AD=1$ cm, le triangle $AMD$ est isocèle en $A$, et donc
$\widehat{AMD}=\widehat{ADM}=\frac{(180^\circ-x)}{2}=90^\circ-\frac{x}{2}$.
Par symétrie, on a $\widehat{BMC} = \widehat{BCM}=90^\circ-\frac{x}{2}$.
On a alors $\widehat{CMD}=180^\circ-\widehat{AMD}-\widehat{BMC}=180^\circ-(90^\circ-\frac{x}{2})-(90^\circ-\frac{x}{2})=x$.

Par conséquent, les triangles $AMD$ et $MCD$ ont leurs angles égaux (l’un à $x$ et les deux autres à $90^\circ-\frac{x}{2}$).
Ainsi, ils sont semblables.
On a alors:
\[ \frac{AD}{MD}=\frac{MD}{CD} \]
et donc $MD^2=1$, d’où $MD=MC=1$ cm.
Comme $AM=MB=1$ cm, le point $M$ est le centre du cercle et son rayon vaut donc $1$ cm.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Janvier 2022, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - [Violaine Leroy>https://cargocollective.com/violaine-leroy]

Comentario sobre el artículo

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  • Janvier 2022, 1er défi

    le 7 de enero de 2022 à 11:28, par ROUX

    La question est donc aussi: quels chiffres doit-on permuter afin que $952473$ diminue de $1500*18=27000$?
    Eh bien sous l’hypothèse qu’il y a une solution, il faut permuter le chiffre des $10000$ et le chiffre des $1000$ soit permuter $5$ et $2$.
    Et d’ailleurs, $52-25=27$

    Répondre à ce message

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