Un défi par semaine

Janvier 2022, 1er défi

Le 7 janvier 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (2)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 1

Dans la fraction $\dfrac{952\,473}{18}$, quelle paire de chiffres adjacents du numérateur doit-on permuter pour que le résultat diminue de $1500$ ?

Solution du 5e défi de décembre 2021 :

Enoncé

La réponse est : $1$ cm.

Soit $ABCD$ le quadrilatère et supposons que l’on a $AB=2$ cm.
Soit $M$ le milieu du segment $[AB]$, de sorte que $AM=MB=1$ cm.

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On va montrer que $M$ est le centre du cercle. Pour cela, il suffit de montrer que $MD=MC=1$ cm.

Par symétrie de la figure par rapport à l’axe vertical (passant par $M$), les angles $\widehat{MBC}$ et $\widehat{MAD}$ sont égaux : notons $x$ leur valeur.
Comme $AM=AD=1$ cm, le triangle $AMD$ est isocèle en $A$, et donc
$\widehat{AMD}=\widehat{ADM}=\frac{(180^\circ-x)}{2}=90^\circ-\frac{x}{2}$.
Par symétrie, on a $\widehat{BMC} = \widehat{BCM}=90^\circ-\frac{x}{2}$.
On a alors $\widehat{CMD}=180^\circ-\widehat{AMD}-\widehat{BMC}=180^\circ-(90^\circ-\frac{x}{2})-(90^\circ-\frac{x}{2})=x$.

Par conséquent, les triangles $AMD$ et $MCD$ ont leurs angles égaux (l’un à $x$ et les deux autres à $90^\circ-\frac{x}{2}$).
Ainsi, ils sont semblables.
On a alors :
\[ \frac{AD}{MD}=\frac{MD}{CD} \]
et donc $MD^2=1$, d’où $MD=MC=1$ cm.
Comme $AM=MB=1$ cm, le point $M$ est le centre du cercle et son rayon vaut donc $1$ cm.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2022, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Crédits image :

Image à la une - [Violaine Leroy>https://cargocollective.com/violaine-leroy]

Commentaire sur l'article

  • Janvier 2022, 1er défi

    le 7 janvier à 08:00, par Al_louarn

    Soit $x$ le numérateur obtenu en permutant $2$ chiffres adjacents, de façon que la fraction diminue de $1500$. Alors $x$ vérifie l’équation $\dfrac{952473}{18} - \dfrac{x}{18} = 1500$, d’où $x=952473 - 18 \times 1500 = 925473$.
    Il faut donc permuter les chiffres $5$ et $2$.

    Répondre à ce message
  • Janvier 2022, 1er défi

    le 7 janvier à 11:28, par ROUX

    La question est donc aussi : quels chiffres doit-on permuter afin que $952473$ diminue de $1500*18=27000$ ?
    Eh bien sous l’hypothèse qu’il y a une solution, il faut permuter le chiffre des $10000$ et le chiffre des $1000$ soit permuter $5$ et $2$.
    Et d’ailleurs, $52-25=27$

    Répondre à ce message

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