Un défi par semaine

Janvier 2022, 4e défi

Le 29 janvier 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (2)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 4
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls. On suppose que $4$ est leur plus grand diviseur commun et que $24$ est leur plus petit multiple commun. Combien de valeurs distinctes peut prendre la quantité $a+b$ ?

Solution du 3e défi de janvier 2022 :

Enoncé

La colonne centrale doit comporter soit un, soit trois carrés. En effet, les carrés restants doivent être disposés deux par deux sur les colonnes $1$ et $3$, de manière symétrique, et doivent donc être en nombre pair. Comme le nombre total de carrés est $3$, le nombre de carrés sur la colonne centrale est donc $1$ ou $3$. Distinguons maintenant ces deux cas.

  1. em Si les trois carrés sont placés sur la colonne centrale, la disposition des carrés est bien symétrique par rapport à l’axe imposé.
  2. em Si la colonne centrale ne comporte qu’un seul carré, il y a trois possibilités pour placer ce carré. D’autre part, les deux carrés restants peuvent être disposés de manière symétrique, de part et d’autre de l’axe, de trois manières possibles indépendamment du choix précédent.

Finalement, il y a $1+3\times 3=10$ possibilités pour placer les trois carrés de manière symétrique par rapport à l’axe.

La réponse est 10 possibilités.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2022, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

  • Janvier 2022, 4e défi

    le 29 janvier à 15:21, par François

    Soit a’ = a/4 et b’ = b/4, a’ et b’ sont premiers entre eux donc a’b’ = 24/4 = 6. Les seules possibilités pour (a’,b’) sont (1,6), (2,3), (3,2), (6,1) ; et pour a + b =4 (a’ + b’) elles sont 20 ou 28.

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  • Janvier 2022, 4e défi

    le 31 janvier à 22:40, par jml83

    Le produit ab vaut ppcm x pgcd donc 96.
    a et b sont tous les deux multiples de 4 donc ab s’écrit 16 cd.
    D’où cd vaut 6.
    Soit quatre couples (c,d) possibles (1,6), (2,3), (3,6) et (6,1)*
    Donc deux valeurs pour la somme c + d : 5 et 7.
    Donc aussi deux valeurs possibles pour a + b **

    (*) les quatre couples (a,b) sont donc (4,24), (8,12), (12,8) et (24,4)
    (**) 4x5 =20 et 4x7 = 28.

    Répondre à ce message

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