Janvier 2023, 1er défi

Le 6 janvier 2023 - Ecrit par Romain Joly Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Tous les premiers vendredis du mois, retrouvez « Le défi du mois » : un défi sans mathématique très complexe mais parfois éloigné du cadre scolaire. Il pourrait vous donner du fil à retordre...

Le calendrier mathématique 2023 s’intitule « Structurer le Monde ».

L’être humain a toujours cherché les symétries, les ressemblances et les structures dans la nature, la géométrie et les nombres. Vous découvrirez à travers 12 textes superbement illustrés la vision mathématique moderne de ces structures et de leurs applications, des pavages du palais de l’Alhambra aux collisions des accélérateurs de particules.

La calendrier est en vente ici ou chez votre libraire favori.

Semaine 1 : le problème du mois

Paul a écrit un nombre et John l’a multiplié soit par $5$, soit par $6$. George a ajouté soit $5$, soit $6$ au résultat de John et, finalement, Ringo a soustrait soit $5 $, soit $6 $ au résultat de George et a obtenu $78 $. Quel est le nombre que Paul a écrit ?

Solution du 5e défi de décembre 2022 :

Enoncé

Comme $a^2+2b^2-2bc=100$ et $2ab-c^2=100$, on a :

\[ \begin{eqnarray*} a^2+2b^2-2bc & = 2ab-c^2 \\ a^2+b^2-2ab+c^2+b^2-2bc &= 0 \\ (a-b)^2+(b-c)^2 &= 0. \end{eqnarray*} \]

Donc $a-b=0$ et $b-c=0$, c’est-à-dire $a=b=c$. En remplaçant $b$ et $c$ par $a$ dans les deux équations de départ, on obtient à chaque fois $a^2=100$ et donc $a=\pm10$.

Il y a par conséquent deux possibilités : $(10,10,10)$ et $(-10,-10,-10)$.

Réponse : $(10,10,10)$ et $(-10,-10,-10)$.

Post-scriptum :

Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.

Commentaire sur l'article

Janvier 2023, 1er défi

le 6 janvier à 07:23, par jokemath

La réponse est 13.
Selon les actions de Ringo et Georges, pour 78 on doit :
▪︎ retirer 1 si Ringo a ajouté 5 et Georges retiré 6
▪︎ ajouter 1 si Ringo a ajouté 6 et Georges retiré 5
▪︎ne rien faire si Ringo a ajouté 5 et Georges retiré 5, ou si Ringo a ajouté 6 et Georges retiré 6
Alors on obtient dans l’ordre 77, ou 79, ou 78.
Comme le résultat doit être divisible par ou par 6 selon l’action de John, on prend 78 qui vaut 6x13.
On en déduit que Paul avait ecrit 13.
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