Un défi par semaine

Janvier 2014, 3ème défi

El 17 enero 2014  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 3 :

Soient $a$ et $b$ des nombres réels distincts tels que $a^2=6b+5ab$ et $b^2=6a+5ab$. Quelle est la valeur de $ab$?

Solution du 2ème défi de janvier

Enoncé

Les deux nombres apparaissent le même nombre de fois.

On observe que quand on remplace un nombre de la liste par le
nombre qu’on obtient en ajoutant la somme de ses chiffres, le
reste obtenu en divisant le nombre par 9 ne change pas. Par
exemple, le nombre 1567 donne un reste égal à 1 quand on le divise
par 9, et le nombre obtenu en additionnant ses chiffres,
$1+5+6+7=19$ donne aussi un reste égal à 1 quand on le divise par 9. Ce fait est une conséquence du critère de
divisibilité par 9. En général, le nombre de quatre chiffres $abcd$ donne le même reste en le divisant par 9 que $a+b+c+d$.

Après toutes les substitutions, les nombres de la liste
sont entre 0 et 9. Puis, tous les nombres 1 de la liste proviennent de
nombres qui donnent un reste égal à 1 quand on les divise par 9 : 1, 10,
19, 28, $\ldots$, 1999, 2008. De la même façon, tous les nombres
2 proviennent des nombres qui donnent un reste égal à 2 quand on les
divise par 9 : 2, 11, 20, 29, 38, $\ldots$, 2000, 2009. On observe
qu’entre 1 et 2007 il y a $223=\frac{2007}{9}$ nombres qui sont
multiples de 9 et 223 nombres qui donnent un reste
de 1 quand on les divise par 9 ; avec 2008 il y a au total 224
nombres qui donnent un 1 dans la liste finale. De façon analogue, entre 1 et 2014 il y a 224 nombres qui donnent un reste égal à 2 quand on les divise par 9. Par conséquent, les deux nombres 1 et 2 apparaissent le même nombre de fois.

Post-scriptum :

Pour en savoir plus sur l’image du mois de janvier, Une chambre hyperbolique par Jos Leys.

L’édition française du calendrier est une publication des Presses Universitaires de Strasbourg et de Googol.

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous les droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Janvier 2014, 3ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - Détail de la page de janvier du calendrier mathématique 2014. Image : «Les pavages de l’espace non euclidien», par Jos Leys. Maquette par Begoña Alberro Viñals.

Comentario sobre el artículo

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  • Janvier, 3ème défi

    le 23 de enero de 2014 à 16:33, par Olivier

    Oui, comme l’a expliqué projetmbc, calculer $a^2-b^2$ a vraiment été mon premier pas. Vu qu’on connaît déjà $a^2$ et $b^2$, c’est intéressant de regarder $(a \pm b)^2$ ou $a^2-b^2$. Le fait que $5ab$ apparaisse identiquement dans les deux équations pousse à calculer cette dernière équation plutôt qu’une autre, et le résultat déroule ensuite automatiquement.

    Répondre à ce message

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