Un défi par semaine

Janvier 2014, 4ème défi

Le 24 janvier 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 4 :

Dans une grille de 3 lignes et 6 colonnes on place les
nombres de 1 à 6. Sur la première ligne, on les dispose dans
l’ordre croissant, sur la deuxième dans un ordre quelconque, et
sur la troisième on dispose la valeur absolue de la différence des nombres de
chaque colonne. Pouvez-vous remplir la deuxième ligne de façon à obtenir 6 différences distinctes ?

Solution du 3ème défi de janvier

Enoncé

La réponse est $ab=6$.

Comme $a^2=6b+5ab$ et $b^2=6a+5ab$, on a alors

$a^2-b^2 = 6(b-a)$

$(a-b)(a+b) = 6(b-a)$

$(a-b)(a+b+6) = 0.$

Comme $a \neq b$, on a $a+b+6=0$, d’où $a+b=-6$. Ensuite, en élevant au carré on obtient $a^2+b^2+2ab=36$, donc $a^2+b^2=36-2ab$. Toutefois, en additionnant les équations originales on a alors $a^2+b^2=6(a+b)+10ab$,
donc

$36-2ab = -36+10ab$

$72 = 12ab$

$6 = ab.$

Post-scriptum :

Pour en savoir plus sur l’image du mois de janvier, Une chambre hyperbolique par Jos Leys.

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous les droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2014, 4ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - L’édition française du calendrier est une publication des Presses Universitaires de Strasbourg et de Googol.

Commentaire sur l'article

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  • Janvier, 4ème défi

    le 26 janvier 2014 à 12:02, par ROUX

    J’ai voulu faire un graphe où à chaque étape, j’avais toutes les possibilités.

    Mais il m’est apparu, avant même que je commence à le dessiner, que je ne pouvais pas le dessiner en un temps raisonnable et sur une surface raisonnée...

    Je me suis alors donné pour outil un tableau avec 6 lignes et 6 colonnes. Dans chaque intersection, je mets la valeur absolue de la différence entre les chiffres de 1 à 6.

    Dés que je choisis une valeur de la différence, je supprime toutes les autres valeurs dans la colonne et la ligne.

    J’ai alors joué avec plusieurs suites de nombres.

    Je n’ai pas encore repéré le théorème mais je sais qu’on ne peut pas trouver pour (1,2), pour (1,2,3).

    En revanche, je trouve pour (1,2,3,4) : il suffit de placer dessous respectivement (4,2,1,3) ce qui donne pour valeur absolue de la différence, respectivement (3,0,2,1).

    J’ai identifié le problème qui est que le nombre de valeurs nulles des différences est exactement égal au nombre de chiffres et que le choix de la première valeur de différence consomme deux « 0 » : il faudra donc espérer que le choix de l’une des autres valeurs de différences ne consomme, elle, aucun « 0 ».

    C’est ce qui se passe dans le tableau pour (1,2,3,4) et dans le tableau pour (1,2,3,4,5).

    Mais je bute sur : comment reconnaitre au premier coup d’œil que le tableau ne permettra pas cela ?

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