Un défi par semaine

Janvier 2014, 4ème défi

Le 24 janvier 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 4 :

Dans une grille de 3 lignes et 6 colonnes on place les
nombres de 1 à 6. Sur la première ligne, on les dispose dans
l’ordre croissant, sur la deuxième dans un ordre quelconque, et
sur la troisième on dispose la valeur absolue de la différence des nombres de
chaque colonne. Pouvez-vous remplir la deuxième ligne de façon à obtenir 6 différences distinctes ?

Solution du 3ème défi de janvier

Enoncé

La réponse est $ab=6$.

Comme $a^2=6b+5ab$ et $b^2=6a+5ab$, on a alors

$a^2-b^2 = 6(b-a)$

$(a-b)(a+b) = 6(b-a)$

$(a-b)(a+b+6) = 0.$

Comme $a \neq b$, on a $a+b+6=0$, d’où $a+b=-6$. Ensuite, en élevant au carré on obtient $a^2+b^2+2ab=36$, donc $a^2+b^2=36-2ab$. Toutefois, en additionnant les équations originales on a alors $a^2+b^2=6(a+b)+10ab$,
donc

$36-2ab = -36+10ab$

$72 = 12ab$

$6 = ab.$

Post-scriptum :

Pour en savoir plus sur l’image du mois de janvier, Une chambre hyperbolique par Jos Leys.

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous les droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2014, 4ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - L’édition française du calendrier est une publication des Presses Universitaires de Strasbourg et de Googol.

Commentaire sur l'article

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  • Janvier, 4ème défi

    le 26 janvier 2014 à 21:01, par Daniate

    Supposons que le problème va de 1 à n. Les différences possibles vont de 0 à n-1 (en valeurs absolues). Si l’on oublie les va la somme des différences est 0 puisque cela revient à soustraire le total de la deuxième ligne du total de la première. Pour retrouver la somme avec valeurs absolues on ne touche pas aux différences positives par contre en changeant un terme négatif en son opposé la somme augmente de deux fois la va, c’est à dire qu’on ajoute un nombre pair. On obtient donc une condition nécessaire (mais j’ignore si elle est suffisante) : 0+1+2+...+(n-1) doit être pair. Or cette somme vaut (n-1)x n/2. Pour qu’elle soit paire il faut que n soit de la forme 4p ou de la forme 4p+1. C’est bien le cas de 4,5,8 mais pas de 6 ou 7

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