L’illumination de Vincennes

Qui n’a jamais entendu le nom de Jean-Jacques Rousseau ? Né le 28 juin 1712, il est un philosophe emblématique de la période des Lumières. Alors que ses premiers écrits alterneront entre œuvres épistolaires, romanesques et politiques, c’est le lancement en 1742, par l’académie de Dijon, d’un concours autour de la question « Le rétablissement des sciences et des arts a-t-il contribué à épurer ou à corrompre les mœurs ? » qui va définitivement lancer la carrière philosophique de Rousseau. Connue sous l’appellation d’ « illumination de Vincennes », cette révélation aura beaucoup contribué au développement de sa pensée. Marqués par une nette opposition aux thèses soutenues par ses contemporains, au rang desquels figurent notamment Montesquieu et Voltaire, ses écrits bâtiront un courant de pensée clivant, qui lui est propre. Les années qui vont suivre seront l’occasion pour lui de développer sa doctrine qu’il enrichit constamment par ses lectures abondantes, notamment celles de Hobbes, Machiavel ou encore Grotius. Paraîtront à cette période trois des ouvrages les plus importants de sa vie : le Discours sur les sciences et les arts (1750), le Discours sur l’origine et les fondements de l’inégalité parmi les Hommes (1755) et enfin, le plus représentatif de ses idées et celui qui retiendra notre attention aujourd’hui Du Contrat Social (1762).

Première de couverture de l’édition originale du Contrat Social (1762)

Première édition, Amsterdam, 1762. Gravure de Charles Ange Boily d’après le dessin de Benjamin Samuel Bolomey

Tantôt adulé, tantôt critiqué, ce qui est sûr c’est que peu de livres auront fait couler autant d’encre au cours de l’Histoire que Du Contrat Social. Alors que certains ont remis en cause le bien-fondé de l’argumentation de son auteur, d’autres ont pris la liberté d’en offrir des interprétations bien éloignées des considérations de l’époque. Son ouvrage n’en aura pas moins révolutionné, sans mauvais jeu de mot, la manière d’appréhender et de pratiquer la politique. Dans le prolongement des écrits de Montesquieu, notamment De l’esprit des lois (1748), sa conception des institutions et de leurs rôles respectifs s’est profondément ancrée dans les fondements politiques et idéologiques de nos sociétés modernes. Alors qu’il s’est attiré les foudres de certains de ses contemporains par une vive critique des sciences dans son Discours sur les sciences et les arts, il aime y avoir recours afin d’illustrer quantité d’argumentations. Le Contrat Social n’y fait pas exception et nombreuses sont les références empruntées aux domaines de la chimie et des mathématiques. Ce sont ces dernières qui nous intéressent aujourd’hui puisque leur utilisation pour illustrer certains arguments peut paraître obscure voire inintelligible au regard des connaissances actuelles. Beaucoup ont ainsi fait l’erreur de juger le niveau scientifique de J.-J. Rousseau sans prendre la peine de faire un saut dans le passé. Il est donc temps de plonger au cœur de cet ouvrage et de tenter d’apporter la lumière sur certains passages.

Volonté générale ou volontés particulières ?

Pour nous mettre en jambes, rendons-nous directement au chapitre 3 du deuxième livre du Contrat Social intitulé « Si la volonté générale peut errer ». C’est dans ce court chapitre que Rousseau fait appel pour la première fois à des notions mathématiques. L’objet de ce chapitre est de distinguer la volonté générale, produit du peuple réuni en tant que Souverain, de la volonté de tous, simple somme des volontés particulières qui émanent de chacun d’entre nous et qui n’ont pour but que notre satisfaction personnelle à un instant donné. Rousseau soutient que la volonté générale d’un peuple est supérieure à la volonté de tous. Ce postulat est la condition sine qua non à la mise en place du fameux contrat social, grâce auquel chaque individu, se liant à lui-même, récupère plus de la société qu’il ne lui apporte. Pour illustrer son propos, ce dernier s’appuie sur une analogie mathématique.
Premièrement, identifier ce que représente la volonté de tous est à la portée de chacun. Si je souhaite connaître quelle est la volonté de tout un groupe, il me suffit de faire la somme des volontés de chaque personne constituant ce groupe. Le raisonnement à l’échelle d’un peuple tout entier reste le même : la volonté de tous est obtenue par une sommation arithmétique des volontés individuelles de chacun. Ainsi, si la société n’était mue que par cette volonté, elle n’aurait pas de raison d’exister car elle ne nous apporterait rien de plus que ce qu’on peut obtenir par nous-mêmes. C’est donc autre chose qui meut la société et que Rousseau définit comme « volonté générale ». Il définit alors celle-ci comme l’intégrale des volontés particulières. Les intérêts particuliers s’entre-détruisent pour ne laisser place qu’à l’intérêt commun.

Comparaison entre volonté de tous et volonté générale selon le modèle mathématique de Rousseau

L’aire colorée en gris représente la différence mathématique entre la volonté générale (aire sous la courbe bleue) et la volonté de tous (somme des aires des rectangles rouges).

Curieusement, les termes mathématiques viennent ici s’identifier aux concepts philosophiques et la volonté de tous est littéralement « intégrée » à la volonté générale. Il n’est donc pas nécessaire de s’attacher aux volontés particulières mais uniquement à la volonté générale qui profite à tous.

Le Gouvernement : qui, quoi et combien ?

Tournons quelques pages et rendons-nous au troisième livre de l’œuvre. Défini par Rousseau lui-même comme étant un véritable pivot de son ouvrage, il est nécessaire d’y porter une attention toute particulière afin d’en saisir tous les tenants. Face à l’importance des arguments exposés pour la compréhension générale de l’œuvre et face à la rigueur que Rousseau souhaite apporter à leur présentation, ce premier chapitre dans lequel il traite de la forme du Gouvernement et des relations entretenues avec le Souverain d’une part et l’État d’autre part, fait la part belle aux mathématiques. C’est ici que l’on en trouve le plus de références de tout le Contrat Social. En effet, Rousseau y expose un modèle mathématique inhabituel qui mérite d’être développé.
La discussion porte dans la première partie sur ce qu’est le Gouvernement, un corps intermédiaire dont l’activité première est de faire exécuter les lois établies par le Souverain. Pour se faire, la forme du Gouvernement déterminera les rapports de force entre le Souverain et le peuple. Ainsi, l’effectif dudit Gouvernement va constituer un point clé de sa formation, qui devra permettre d’équilibrer ces rapports. Rousseau l’évalue de la façon suivante : « On peut représenter ce dernier rapport par celui des extrêmes d’une proportion continue, dont la moyenne proportionnelle est le Gouvernement ». Et de poursuivre : « Il faut […] qu’il y ait égalité entre le produit ou la puissance du Gouvernement pris en lui-même et le produit ou la puissance des citoyens, qui sont souverains d’un côté et sujets de l’autre ». Pour comprendre cette assertion, il est utile de faire un détour par l’Encyclopédie de Diderot et D’Alembert et de se pencher sur le vocabulaire arithmétique de l’époque.

Un petit détour par L’Encyclopédie (1751-1772)

L’Encyclopédie. Prospectus, Bibliothèque Mazarine

Première page de la première édition de L’Encyclopédie

Œuvre littéraire majeure du XVIIIe siècle, L’Encyclopédie dont la rédaction a duré plus de vingt ans, a connu le succès grâce à la collaboration des plus grands esprits de l’époque. Parmi ceux-ci, Rousseau s’est vu confier par Diderot l’écriture des articles dédiés à la musique. C’est donc sans surprise que L’Encyclopédie regroupe l’ensemble des notions mathématiques utilisées par Rousseau et plus généralement par les arithméticiens de ce siècle. Ainsi, afin d’être en capacité de les comprendre, voici les définitions de quelques termes mathématiques utiles à notre sujet.

• Rapport : C’est le résultat de la comparaison de deux quantités, l’antécédent et le conséquent, relativement à une grandeur. L’égalité de rapport forme ce qu’on appelle une proportion.

• Proportion : Rapport qu’il y a entre des choses inégales de la même espèce, et par lequel leurs différentes parties correspondent les unes aux autres par une augmentation ou diminution égale.

• Puissance : Produit d’un nombre par lui-même.

Nous introduisons également deux autres éléments de vocabulaire familiers à Rousseau :

• Raison : Résultat de la comparaison que l’on fait entre deux grandeurs homogènes, soit en déterminant l’excès de l’une sur l’autre, ou combien de fois l’une contient l’autre, ou y est contenue. La proportion est une identité ou similitude de deux raisons.

• Exposant : L’exposant d’une raison géométrique est le quotient de la division du conséquent par l’antécédent. C’est, dans le langage contemporain, « l’inverse de la raison ».

Ces définitions, extraites directement de L’Encyclopédie, peuvent paraître encore obscures ; nous allons voir comment elles contribuent à la bonne compréhension du Contrat Social.

Une multitude de « bons Gouvernements »

Afin de pouvoir caractériser et définir un Gouvernement, il faut l’évaluer dans ses rapports avec deux entités distinctes : l’État ou le peuple d’une part, le Souverain d’autre part.
La vie d’une société s’articule ainsi autour des relations entretenues par trois forces. Dans le cadre d’une modélisation mathématique, définissons trois variables $S$, $G$ et $P$ respectivement associées aux effectifs du Souverain, du Gouvernement et du Peuple. Comme nous l’avons
souligné précédemment, le Souverain, expression de l’unité du Peuple sera toujours considéré comme unitaire. Nous aurons donc toujours 𝑆 = 1. Nous proposons maintenant trois définitions :

Ces définitions établies, nous pouvons désormais revenir sur l’argumentation de Rousseau. Ses propos sont les suivants : « On peut représenter ce dernier rapport par celui des extrêmes d’une proportion continue, dont la moyenne proportionnelle est le Gouvernement ». Rousseau considère ici deux rapports :

• Le rapport $R_1$ qui est celui du Souverain $S$ au Gouvernement $G$, on a donc :

  \[R_1=\frac{S}{G}=\frac{1}{G}\]

  car comme nous l’avons évoqué, le Souverain est unitaire.

• Le rapport $R_2$ qui est celui du Gouvernement $G$ à l’État (ou encore le peuple) en tant qu’ensemble des sujets que nous avons noté $P$. Nous avons donc :

  \[R_2=\frac{G}{P} \]

  Par suite, pour qu’une société puisse s’établir correctement, ces deux rapports de force doivent être équilibrés. C’est cet équilibre qui va conditionner la composition du Gouvernement. A partir des notations et affirmations précédentes, on peut déduire la propriété suivante :
  
  

On voit ici une nouvelle fois à quel point le vocabulaire mathématique du siècle de Rousseau est adapté à son propos : le Gouvernement est le moyen permettant d’équilibrer les rapports de force entre l’État d’une part et le Souverain d’autre part. Comme le montre la relation ci-dessus, dans une proportion continue, le produit des moyens est égal au produit
des extrêmes. En particulier, la puissance du Gouvernement (ici le produit du Gouvernement par lui-même) est égale au produit du Souverain pris en lui-même. Ainsi, pour une population donnée, il existe un unique bon Gouvernement. Cependant, la fluctuation de la démographie
implique une infinité de bons Gouvernements. Par cette démonstration, Rousseau apporte une réponse tranchée à un exercice récurrent de la philosophie politique à savoir la recherche de la meilleure forme de gouvernement possible. La solution qu’il apporte est que cette
dernière n’est pas unique mais va dépendre du peuple que l’on considère.

L’équilibre des rapports de force

De gauche à droite sont représentés l’Etat (le peuple), le Gouvernement et le Souverain.

Une conclusion très … mathématique !

Allons au bout de l’analogie mathématique proposée par Rousseau. On le rappelle,
selon lui le peuple, en tant que simples sujets, ne représente qu’une somme discrète de
volontés particulières. Ces dernières ne doivent pas aliéner la volonté générale qui elle, émane
du peuple réuni en qualité de Souverain. Aussi, plus la population augmente, plus le lien du
citoyen pris en tant que tel avec le Souverain est fragile.

Concrètement, si $P= 100.000$, l’exposant $E_P=\frac{1}{100000}$ représente cet éloignement : le citoyen ne pèse alors plus qu’$\frac{1}{100000}$ de la volonté générale.

Evolution du poids de l’individu dans la volonté générale en fonction de la démographie

Le poids d’un individu dans la volonté générale étant égal à l’inverse de la population, il se modélise par une fonction inverse ( $f(x)=\frac{1}{x}$ )

Cet éloignement crée donc un risque d’égarement de la volonté générale par la
résurgence de volontés particulières. Il est ainsi nécessaire que la force coercitive chargée d’exécuter la volonté générale, soit d’autant plus forte pour pouvoir contenir les volontés particulières : c’est le rôle du Gouvernement. Rousseau ose même aller encore plus loin, en appliquant littéralement la relation établie dans la propriété 4, pour proposer un effectif idéal du Gouvernement à un instant t. Nous substituons donc aux constantes $G$ et $P$, les fonctions $G(t)$ et $P(t)$ qui dépendent désormais de l’instant considéré :

\[R_1(t)=R_2(t) \Leftrightarrow \frac{1}{G(t)}=\frac{G(t)}{P(t)} \Leftrightarrow P(t)=G(t)^2 \Leftrightarrow G(t)=\sqrt{P(t)} \]

L’effectif du Gouvernement doit donc être égal à la racine carrée du nombre de sujets. Une représentation graphique de l’évolution de cet effectif basée sur un modèle d’évolution logarithmique [1] de la population est proposée ci-dessous. Cette application particulièrement rigoriste du modèle mathématique utilisée ici par Rousseau l’amènera par la suite à tempérer son propos : les variables ici ne représentent que des effectifs, il serait plus judicieux d’appliquer les relations précédentes à des quantités d’actions et de forces respectives des diverses entités. Il ajoute : « […] je n’ignore pas,
cependant, que la précision géométrique n’a point lieu dans les quantités morales » [2]. Il réaffirmera cependant quelques années plus tard dans les Lettres écrites de la Montagne (1764) son attachement à son modèle qu’il considère comme essentiel dans la compréhension de son œuvre.

Évolution des effectifs des trois forces en fonction du temps

La modélisation s’appuie sur une évolution logarithmique de la population en fonction du temps.

En conclusion, bien que les mathématiques utilisées par Rousseau soient désormais désuètes et que le vocabulaire utilisé n’a plus les mêmes significations aujourd’hui, il est important de souligner que les connaissances scientifiques de Rousseau étaient loin d’être négligeables et qu’elles étaient bien au-dessus de celles de la moyenne de la population d’alors. D’autre part, Rousseau n’a jamais eu la prétention de substituer un modèle
mathématique aux considérations politiques de son époque mais a plutôt cherché à illustrer et éclaircir ses propos par l’application d’un tel modèle.