Commentaire sur l'article

• Juillet 2015, 1er défi

  le 3 juillet 2015 à 10:57, par orion8

  Soit x la mesure de l’angle BCA en degrés.
  Dans BCD isocèle en B, les angles sont donc x à la base et 180 - 2x au sommet.
  Donc, dans ABD isocèle en D, les angles sont 180 - x au sommet et x/2 à la base.
  Enfin, dans ABC isocèle en A, on doit avoir x = x/2 + 180 - 2x
  ce qui donne BCA = 72°.

  Répondre à ce message

• Juillet 2015, 1er défi

  le 3 juillet 2015 à 13:45, par Laurent

  Bonjour,

  L’angle BCA mesure 2pi/5.

  Répondre à ce message

• Juillet 2015, 1er défi

  le 3 juillet 2015 à 15:07, par Olivier

  L’angle BCA peut prendre n’importe quelle valeur de [0, π/2[.
  En effet, il suffit de prendre D confondu avec C. On a évidemment BD=BC puisque D=C. Alors, le triangle ABD est isocèle (en A !) car égal à ABC, lui-même isocèle par hypothèse ; et le triangle DBC est isocèle (en B) et accessoirement plat. Et cela fonctionne pour n’importe quelle valeur de l’angle BCA.
  J’ai bon :-) ?
  

  Bon, sinon, si on demande en plus que D soit dans ]AC[ ouvert, effectivement alors ABD doit être isocèle en D et la seule valeur possible pour l’angle BCA est 2π/5.

  Répondre à ce message

• Juillet 2015, 1er défi

  le 5 juillet 2015 à 12:57, par nef2240

  Bonjour,
  ABC isocèle en A AB=AC
  1. Si ABD est isocèle en A => AB=AD=AC => D=C avec DBC isocèle en B. Angle C=BCA est indéterminé.
  2. Si ABD est isocèle en B => BD < BC Sauf si D=A ou D=C (déjà traité). Si D=A => ABC équilatéral donc angle C= 60 dégré.
  3. Si ABD est isocèle en D => Angle ADB+BCD = 180 => Angle C = 2 * Angle A(BAC) or nous savons triangle isocèle forme deux triangle rectangle semblable donc Angle A/2 + 90 + Angle C= 180 Donc Angle A=36 donc Angle C=72 degré.
  CQFD.

  Répondre à ce message

• Juillet 2015, 1er défi

  le 5 juillet 2015 à 23:48, par Jérôme

  J’ai essayé de résoudre le problème en passant par les complexes. Mais la route a l’air bien compliquée (mais il y a sûrement plus simple).

  Pour me faciliter la tâche, mais sans perte de généralité, je considère le cercle trigonométrique de centre A, B est sur le cercle et sur l’axe réel du côté positif, C est sur le cercle, et D entre A et C.
  Chaque point est associé à une valeur complexe :
  Z_A = 0, Z_B = 1, Z_C = e^jθ, Z_D = r e^jθ, avec 0 < r < 1.

  L’angle recherché noté β peut être trouvé par l’équation suivante : θ + 2 β = π.

  De part les égalités données ([AD] = [DB] = [BC]), on a :

  Z_A - Z_D

  =

  Z_D - Z_B

  =

  Z_B - Z_C

  r = |r e^jθ - 1| = |1 - e^jθ|
  r = sqrt( (r cos θ - 1)² + (r sin θ)² ) = sqrt( (1 - cos θ)² + (sin θ)² )
  r² = r² cos² θ - 2r cos θ + 1 + r² sin² θ) = 1 - 2 cos θ + cos² θ + sin² θ
  r² = r² - 2r cos θ + 1 = 2 - 2 cos θ

  En utilisant l’égalité de la première et troisième formule, on a cos θ = (2 - r²)/2, et en le reportant dans la deuxième formule on obtient :

  0 = - 2 r (2 - r²)/2 + 1
  r³ - 2r + 1 = 0
  (r - 1) (r² + r - 1) = 0
  => r = (-1 + sqrt(5)) / 2

  D’où :
  (1 - 2 sqrt(5) + 5) / 4 = 2 - 2 cos θ
  => cos θ = (8 - 6 + 2 sqrt(5)) / 8 = (1 + sqrt(5)) / 2
  => θ = π/5 rad

  Donc l’angle recherché est : β = 2π/5

  Répondre à ce message

• Juillet 2015, 1er défi

  le 6 juillet 2015 à 23:26, par Daniate

  Bonsoir

  Une méthode basée sur le nombre d’or, dans le cas où les triangles ne sont pas dégénérés.

  A l’aide de la similitude entre ABC et BCD on démontre que D partage [AC] dans la « divine proportion », partage que l’on trouve naturellement dans le pentagone régulier en traçant 3 diagonales consécutives. Il suffit de noter [CA] la première, [AB] la seconde et D le point d’intersection entre la première et la troisième, [CB] étant un côté du pentagone. Il est bien connu que le triangle ABC ainsi formé a un angle au sommet de 36° et des angles de base de 72°.

  A noter que les triangles BCD et DAB sont les briques élémentaires d’un des pavages apériodiques de Penrose.

  Répondre à ce message