Un défi par semaine
Juillet 2015, 2e défi
Le 10 juillet 2015 Voir les commentaires (1)Lire l'article en
Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.
Semaine 28 :
La suite de nombres $5$ ; $5$ ; $-13$ ; $5$ ; $5$ ; $5$ ; $-13$ ; $5$ ; $5$ ; $-13$ ; $5$ ; $5$ ; $5$ ; $-13$ a la propriété suivante : la somme de sept nombres consécutifs pris dans cette suite est $-1$ et la somme de onze nombres consécutifs est $1$. Combien de nombres $5$ ou $-13$ peut-on rajouter à droite de cette suite de manière que la propriété soit conservée ?
Solution du 1er défi de Juillet :
La réponse est $\widehat{BCA}=72^{\circ}$.
Comme le triangle $ABC$ est isocèle et $AB=AC$, nous avons
$\widehat{CAB} = 180^\circ - 2\widehat{BCA}.$
Maintenant, comme le triangle $DBC$ est isocèle (puisque $BD=BC$), nous avons $\widehat{BCA}=\widehat{CDB}$. Finalement, comme le triangle $ABD$ est isocèle, nous en déduisons que $AD$ est inférieur à $AB$ et donc $AD=BD$. Ainsi $\widehat{ABD}=\widehat{DAB}=\widehat{CAB}$. Donc
$2\widehat{CAB} +\widehat{BDA} = 180^\circ$
$2\widehat{CAB} = 180^\circ -\widehat{BDA}$
$2\widehat{CAB} = 180^\circ -(180^\circ-\widehat{CDB})$
$2\widehat{CAB} = \widehat{CDB}$
$\widehat{CAB} = \frac{\widehat{BCA}}{2}.$
En revenant au triangle $ABC$ on a $180^\circ= 2\widehat{BCA} +\frac{1}{2}\widehat{BCA}$ ce qui implique $\widehat{BCA}=\frac{2\times 180^\circ}{5}=72^\circ$.
Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.
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Pour citer cet article :
Ana Rechtman — «Juillet 2015, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015
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