Un défi par semaine

Juillet 2015, 4e défi

Le 24 juillet 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (11)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 30 :

Compléter ce tableau avec les nombres entiers de $1$ à $9$ de sorte que la moyenne de chaque ligne et de chaque colonne soit la même.

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Solution du 3ème défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est $6$ nombres.

Nous notons le nombre recherché sous la forme $\overline{abc}$, $a$, $b$ et $c$ étant les chiffres de ce nombre. Ce nombre est divisible par $45$ et par conséquent divisible par $5$ et $9$, ainsi le chiffre $c$ est $0$ ou $5$.

Si $c=0$ alors $c$ serait le plus petit chiffre. Pour que les chiffres forment une progression arithmétique nous aurions pour les deux autres chiffres la forme $r$ et $2r$ dans n’importe quel ordre ($r$ étant un nombre entier). Comme le nombre doit être un multiple de $9$, alors $r+2r=3r$ doit aussi être multiple de $9$ et par conséquent $r$ un multiple de $3$. Cependant, comme $2r\leq 9$, la seule valeur possible est $r=3$. Les nombres possibles sont donc : $360$ et $630$.

Si $c=5$ alors les deux possibilités pour les deux autres chiffres sont de la forme $5+r$ et $5+2r$ avec $r$ un entier positif ou négatif, ou de la forme $5-r$ et $5+r$ avec $r$ un entier strictement positif.

Dans la première possibilité, il faut que $5+5+r+5+2r=15+3r$ soit un multiple de $9$ et $0<5+2r\leq 9$, d’où $r=-2$ ou $r=1$. Dans ce cas les nombres cherchés sont $135$, $315$, $675$ et $765$.

Dans la seconde possibilité, il faut que $5+(5-r)+(5+r)=15$, ce qui n’est pas divisible par $9$, il n’y a donc pas de nombre correspondant à ce cas.

Il existe donc $6$ nombres : $360$, $630$, $135$, $315$, $675$ et $765$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2015, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Ievgen Sosnytskyi / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Juillet 2015, 4ème défi

    le 24 juillet 2015 à 20:05, par Alex715

    Bonsoir,
    soit M la moyenne d’une colonne, la somme des chiffres de la première colonne est 3M, celle de la deuxième 3M, on trouve alors en sommant les chiffres de toutes les cases, 9M=45 soit M=5. La somme des chiffre des 4 premières colonne vaut 8M=40 donc le chiffre correspondant à la case tout à droite est 5.
    La somme des chiffres de la première ligne (et de la 3e colonne) est 10 donc les candidats sont : 1-9, 2-8, 3-7 et 4-6. De même les candidats pour la dernière ligne (ou les 3 cases restantes de la 3e ligne) dont la somme vaut 15 ne sont pas si nombreux.
    Il y a ensuite beaucoup de symétries dans le problème, par ex on peut commuter les deux premières colonnes etc. donc la solution n’est pas unique et on en trouve facilement une comme :
    19
    8435
    627

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